Компланарность

Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости^[1].

Обозначения

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарности

Пусть $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ — векторы пространства $\mathbb{R}^n$. Тогда верны следующие утверждения:

• Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
• Смешанное произведение компланарных векторов $\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right) = 0$. Это — критерий компланарности трёх векторов.
• Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
• Существуют действительные числа $\;\lambda_1, \lambda_2$ такие, что $\vec{a} = \lambda_1\vec{b}+\lambda_2\vec{c}$ для компланарных $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$, за исключением случаев $\vec{b}=\vec{0}$ или $\vec{c}=\vec{0}$. Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
• В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ образуют базис. То есть любой вектор $\vec{d}$ можно представить в виде: $\vec{d}=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}+x_3\vec{c}$. Тогда $\;\{x_1, x_2, x_3\}$ будут координатами $\vec{d}$ в данном базисе.

Другие объекты

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Примечания

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1975, § 115

См. также

• Коллинеарность