- Линейная зависимость
-
Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.
Содержание
Определение
Линейное, или векторное пространство
над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции
- сложения, то есть каждой паре элементов множества
ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый
и
- умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу
и любому элементу
ставится в соответствии элемент из
, обозначаемый
.
При этом удовлетворяются следующие условия:
, для любых
(коммутативность сложения);
, для любых
(ассоциативность сложения);
- существует такой элемент
, что
для любого
(существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
- для любого
существует такой элемент
, что
(существование противоположного элемента).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(существование нейтрального элемента относительно умножения).
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
(дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).
Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами.
Простейшие свойства
- Нейтральный элемент
является единственным.
для любого
.
- Для любого
противоположный элемент
является единственным.
для любого
.
для любых
и
.
Связанные определения и свойства
- Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр.
- Конечная сумма вида
-
- называется линейной комбинацией элементов
с коэффициентами
.
- Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
- Элементы
называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу
. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
- Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
- Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
- Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
- Любой вектор
можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
-
.
Примеры
- Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
- Пространство всех функций
образует векторное пространство размерности равной мощности X.
- поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
Дополнительные структуры
- Нормированное векторное пространство
- Топологическое линейное пространство
- Евклидово пространство
- Гильбертово пространство
См. также
- Линейный оператор
- Сопряжённое пространство
- Модуль над кольцом
- Выпуклый функционал
- Линейная независимость
- Линейная оболочка
Литература
- Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.
Ссылки
- сложения, то есть каждой паре элементов множества
Wikimedia Foundation. 2010.