РУШЕ ТЕОРЕМА

пусть f(z) и g(z) - регулярные аналитич. ции комплексного переменного zв области D, простая замкнутая кусочно гладкая кривая Г вместе с ограничиваемой ею областью Gпринадлежит Dи всюду на Г выполняется неравенство ; тогда в области Gсумма имеет столько же нулей, сколько и f(z).

Эта теорема была получена Э. Руше [1]. Она является следствием аргумента принципа, и из нее в свою очередь получается основная теорема алгебры многочленов.

Справедливо также о б о б щ е н и е Р. <т. для многомерных голоморфных отображений, напр. в следующем ВИДе. ПуСТЬ f(z)= (f₁ (z),. . ., f_n(z)) И g(z)=(g₁.(z),. . ., g_n(z)) - голоморфные отображения области Dкомплексного пространства в , с изолированными нулями, пусть гомеоморфная сфере гладкая поверхность Г вместе с ограничиваемой ею областью G принадлежит Dи всюду на Г выполняется неравенство

Тогда отображение f(z) + g(z) имеет в Gстолько же нулей, сколько и f(z).

Лит.:[1] R o u c h e E., "J. Ecole polyt.", 1858, t. 21; [2] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. <Д. <Соломенцев.