- БОТТА ТЕОРЕМА ПЕРИОДИЧНОСТИ
основная теорема К-теории, в простейшем виде утверждающая, что для любого (компактного) пространства Xсуществует изоморфизм между кольцами
и
. Более общо, если L - линейное комплексное расслоение над
- проективизация расслоения
, то кольцо
представляет собой
-алгебру с одной образующей [Н]и единственным соотношением
здесь
- образ расслоения Ев кольце
,
-расслоение Хопфа над
. Этот факт равносилен существованию изоморфизма Тома в K-теории для комплексных векторных расслоений. В частности,
Б. -т. п. впервые доказана P. Боттом [1] с использованием теории Морса и получила переформулировку в терминах K-теории [6]; также доказано утверждение, аналогичное Б. т. п., для вещественных расслоений.
Б. т. п. устанавливает аакономерность свойства стабильного гомотопич. типа унитарной группы
, состоящую в том, что
- пространство петель на X,~ -слабая гомотопич. эквивалентность, в частности
для i=0, 1, . . ., pi ,есть i-я гомотопич. группа; аналогично, для ортогональной группы О п:
Лит.:[1] Воtt R., "Ann. math.", 1959, v. 70, p. 313-37; [2] Милнор Д ж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965; [3] Атья м., Лекция по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [4] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [5] Мооrе I. С., On the periodicity theorem for complex vector bundles, Seminaire H. Cartan, 1959-60; [6] Atiуah M., Bott R., "Acta math.", 1964, v. 112, p. 229-47. А. Ф. Щекутьев.
БOXHEPA ИНТЕГРАЛ - интеграл от функции со значениями в банаховом пространстве по скалярной мере. Б. и. принадлежит к так наз. сильным интегралам.
Пусть
- векторное пространство функций
со значениями и банаховом пространстве X, заданных на пространстве
со счетно аддитивной скалярной мерой
на
-алгебре
подмножеств множества Е. Функция
наз. простой, если
Функция
наз. сил к но измеримой, если существует последовательность
простых функций и
почти всюду относительно меры
на
. В этом случае скалярная функция
является
-измеримой. Для простой функции
Функция
наз. интегрируемой по Бохнеру, если она сильно измерима и если для любой аппроксимирующей последовательности
простых функций
Для такой функции интегралом Бохнера по множеству
наз.
где
- характеристич. функция множества В, а предел понимается в смысле сильной сходимости в банаховом пространстве X. Этот предел существует и не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности простых функций.
Критерий интегрируемости по Бохнеру: для того чтобы сильно измеримая функция
была интегрируема по Бохнеру, необходимо и достаточно, чтобы норма этой функции была интегрируема, т. е.
Множество функций, интегрируемых по Бохнеру, образует векторное подпространство
пространства F, а Б. и. есть аддитивный и однородный оператор на этом подпространстве.
Свойства Б. и.:
1)
2) Б. и. есть счетно аддитивная и абсолютно непрерывная функция множеств
-алгебры
, т. е.
б) при
равномерно по
;
3) если
почти всюду относительно меры
на
и
почти всюду относительно
на В, причем ,
и
4) пространство
полно относительно сходимости по норме:
5) если T-замкнутый линейный оператор из банахова пространства хв банахово пространство уи
то
в случае ограниченности Тусловие
выполняется автоматически ([3] -[5]).
Б. <и. введен С. Бохнером [1]. Эквивалентные определения даны Т. Гильденбрандтом [2] и Н. Данфордом (интеграл D0).
Лит.:[1] Bochner S., "Fundam. math.", 1933, t. 20, p. 262- 76; 12] Hi1debrandt Т., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1953, v. 59; p. 1ll-39; [3] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [4] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., [2 изд.], М., 1962; [5] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1 - Общая теория, Ы., 1962.
В. И. Соболев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.