ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
- ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
метрическая форма, поверхности - квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, к-рая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Пусть поверхность задана уравнением
где ии v - внутренние координаты на поверхности;
- дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления du: dv смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см. рис. 1).
Квадрат главной линейной части приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr:
и наз. первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты П. к. ф. обычно обозначают через
или в тензорных символах
Тензор gij наз. основным, или метрическим, тензором поверхности. П. к. ф. является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности: 
П. к. ф. характеризует метрич. свойства поверхности: знание П. к. ф. позволяет вычислять длины дуг на поверхности:
где t - параметр на кривой; углы между кривыми на поверхности:
где 
и 
- направления векторов, касательных к кривым (см. рис. 2);
площади областей на поверхности:
Вид коэффициентов П. К. ф. существенно зависит от выбора координат на поверхности. П. к. ф. имеет т. н. ортогональный вид:
в ортогональных координатах; канонический в и д
в полугеодезич. координатах; изотермический (изометрический) вид в изотермич. координатах,
Иногда поверхности характеризуются специальными видами П. к. ф. Напр., Лиувилля поверхности характеризуются следующим видом П. к. ф.:
П. к. ф. является инвариантом изгибания поверхности: полная кривизна поверхности в данной точке может быть вычислена через коэффициенты только П. к. ф. и их производные (теоремы Гаусса).
О связи П. к. ф. с другими квадратичными формами поверхности и лит. см. в ст. Квадратичные формы поверхности. А. В. Иванов
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА" в других словарях:
Первая квадратичная форма — или метрический тензор поверхности ― квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин… … Википедия
Вторая квадратичная форма — мерной поверхности, вложенной в пространство , квадратичная форма, задающая нормальную кривизну. Пусть нормальный вектор в точке , а локальная карта поверхности в точке . Тогда вторая квадратичная форма вычисляется по формуле … Википедия
Форма — I Форма (лат. forma – форма, вид, образ) 1) очертания, внешний вид, контуры предмета. 2) Внешнее выражение какого либо содержания (см. Содержание и форма). 3) Приспособление для придания чему либо определённых очертаний (например,… … Большая советская энциклопедия
Вторая фундаментальная форма — Вторая квадратичная форма n мерной поверхности, вложенной в пространство , квадратичная форма, задающая нормальную кривизну. Пусть нормальный вектор в точке P, а локальная карта поверхности в точке P. Тогда вторая квадратичная форма вычисляется… … Википедия
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ — общее наименование квадратичных форм от дифференциалов координат на поверхности, инвариантных при преобразованиях этих координат. К. ф. п. характеризуют основные внутренние свойства поверхности и ее расположение в пространстве в окрестности… … Математическая энциклопедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в к ром изучаются геометрич. образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич. анализа. Обычно в Д. г. изучаются свойства кривых и поверхностей в малом, т. е. свойства сколь угодно малых их кусков. Кроме того, в … Математическая энциклопедия
ГАУССОВА КРИВИЗНА — полная кривизна, поверхности произведение главных кривизн регулярной поверхности в данной точке. Если первая квадратичная форма поверхности и вторая квадратичная форма поверхности, то Г. к. вычисляется по формуле Г. к. совпадает с якобианом… … Математическая энциклопедия
Псевдосфера — (поверхность Бельтрами) поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название п … Википедия
Точка округления — (круговая точка, омбилическая точка или омбилика; название «омбилика» происходит от лат. «umbilicus» ― «пуп») ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.… … Википедия
Уравнение синус-Гордона — Уравнение синус Гордона это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с… … Википедия
