Функции Чебышева

Функции Чебышёва — теоретико-числовые функции $\theta(x)$ и $\psi(x)$, определенные как

$\theta(x)=\sum\limits_{p\leqslant x}\ln p$

и

$\psi(x)=\sum\limits_{p^m\leqslant x}\ln p,$

где p — простые числа, m — натуральное число. Эти функции связаны с распределением простых чисел. Они были введены Чебышёвым.

Свойства

• Определение пси-функции Чебышёва может записано через функцию Мангольдта: $\psi(x)=\sum\limits_{n\leqslant x}\Lambda(n)$.
• Функции Чебышёва связаны соотношением $\psi(x)=\theta(x)+\theta(\sqrt{x})+\theta(\sqrt[3]{x})+...$, откуда следует асимптотическое соотношение $\psi(x)=\theta(x)+O(\sqrt{x})$
• Потенцирование дает: $e^{\psi(x)}=\operatorname{lcm}(1,2,...,[x])$, $e^{\theta(x)}=\prod\limits_{p\leqslant x}p$
• Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: $\psi(x)\sim\theta(x)\sim\pi(x)\ln x$.

См. также

• Постулат Бертрана
• Теорема о распределении простых чисел
• Чебышёв, Пафнутий Львович

Литература

• ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА.
• Прахар Распределение простых чисел.