Неравенство Чебышева для сумм

В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышева — см. Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышева, утверждает, что если

$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n$

и

$b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,$

то

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Аналогично, если

$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n$

и

$b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,$

то

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Доказательство

Неравенство Чебышева для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n \,$

и

$b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n. \,$

В виду перестановочного неравенства выражение

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,$

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,$

$\vdots \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,$

получаем

$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);$

или, разделив на $n^2$:

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.$

Непрерывный случай

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышева для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

$\int\limits_0^1 f(x)g(x)\,dx \geqslant \int\limits_0^1 f(x)\,dx \int\limits_0^1 g(x)\,dx.\,$