Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве является одной из основных теорем функционального анализа и утверждает, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде:

 U_t = e^{i t \hat H} \quad t \in \mathbb{R}, , (1)

где \hat H — некоторый самосопряженный оператор, а t - параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору \hat H с помощью формулы (1) можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов.

Теорема была доказана американским математиком Маршалом Харви Стоуном[en] в 1930 году и имела огромное значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана - фон Неймана.

Пояснения

Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами:

 \lim_{t \rightarrow t_0} U_t \xi = U_{t_0} \xi \quad \forall t_0 \in \mathbb{R}, \xi \in H
 U_{t+s} = U_t U_s. \quad

Физическое содержание

Теорема Стоуна гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»