Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

Для улучшения этой статьи желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).

Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве является одной из основных теорем функционального анализа и утверждает, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде:

$U_t = e^{i t \hat H} \quad t \in \mathbb{R},$,

(1)

где $\hat H$ — некоторый самосопряженный оператор, а $t$ - параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору $\hat H$ с помощью формулы (1) можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов.

Теорема была доказана американским математиком Маршалом Харви Стоуном^[en] в 1930 году и имела огромное значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана - фон Неймана.

Пояснения

Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами:

$\lim_{t \rightarrow t_0} U_t \xi = U_{t_0} \xi \quad \forall t_0 \in \mathbb{R}, \xi \in H$

$U_{t+s} = U_t U_s. \quad$

Физическое содержание

Теорема Стоуна гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций.

Ссылки

• Stone, M. H. (1930), "«Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory»", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (National Academy of Sciences) . — Т. 16 (2): 172–175, ISSN 0027-8424, <http://www.jstor.org/stable/85485> 
• Stone, M. H. (1932), "«On one-parameter unitary groups in Hilbert Space»", Annals of Mathematics Т. 33 (3): 643–648, <http://www.jstor.org/stable/1968538> 
• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968).

Связать^?