Обратные гиперболические функции

Обратные гиперболические функции

Обратные гиперболические функции — определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x2 + y2 = 1. Для этих функций часто используются обозначення arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такое обозначение является в общем случае ошибочным, так как arc является сокращением от arcus — дуга, тогда как префикс ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д.

Содержание

Определения функций

Гиперболический ареасинус для действительного аргумента
Гиперболический ареакосинус для действительного аргумента
Гиперболический ареатангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареакотангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареасеканс для действительного аргумента
Гиперболический ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости функции можно определить формулами:

  • Гиперболический ареасинус

 \operatorname{arsinh}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,),
  • Гиперболический ареакосинус
\operatorname{arcosh}\, z = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,),
  • Гиперболический ареатангенс
\operatorname{artanh}\, z = \tfrac12\ln(\frac{1+z}{1-z}).
  • Гиперболический ареакотангенс
\operatorname{arcoth}\, z = \tfrac12\ln(\frac{z+1}{z-1}).
  • Гиперболический ареасеканс
\operatorname{arcsch}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right),
  • Гиперболический ареакосеканс
\operatorname{arsech}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right).

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня и логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например \sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}, которые не всегда верно для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

\begin{align}\operatorname{arsinh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1  \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcosh}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{artanh}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}

Asymptotic expansion for the arsinh x is given by

\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}

Производные


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}

Для действительных x:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}

Пример дифференцирования: если θ = arsinh x, то:

\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций

\begin{align}
 &\operatorname{sinh}(\operatorname{arcosh}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1}  \quad \text{for} \quad |x| > 1 \\
 &\operatorname{\sinh}(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\
 &\operatorname{\cosh}(\operatorname{arsinh}\,x) = \sqrt{1+x^{2}} \\
 &\operatorname{\cosh}(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\
 &\operatorname{\tanh}(\operatorname{arsinh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\
 &\operatorname{\tanh}(\operatorname{arcosh}\,x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x| > 1
\end{align}

Дополнительные формулы

\operatorname{arsinh} \;u \pm \operatorname{arsinh} \;v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)
\operatorname{arcosh} \;u \pm \operatorname{arcosh} \;v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)
\operatorname{artanh} \;u \pm \operatorname{artanh} \;v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)
\begin{align}\operatorname{arsinh} \;u + \operatorname{arcosh} \;v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\
                                                                          & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}
\operatorname{arcosh}(2x^2-1)=2\operatorname{arcosh}(x)

См. также

Источники

  • Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Обратные гиперболические функции" в других словарях:

  • ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, обратные к гиперболическим. функциям; выражаются формулами: (ареа синус), (ареа косинус), (ареа тангенс) …   Большой Энциклопедический словарь

  • ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, обратные к гиперболич. функциям; выражаются формулами …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • обратные гиперболические функции — функции, обратные к гиперболическим функциям; выражаются формулами * * * ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, обратные к гиперболическим. функциям; выражаются формулами: (ареа синус), (ареа косинус), (ареа… …   Энциклопедический словарь

  • Обратные гиперболические функции —         функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям (См. Гиперболические функции) sh х, ch х, th х; они выражаются формулами                   (читается: ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс… …   Большая советская энциклопедия

  • ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, обратные гиперболическим функциям. О. г. ф. наз. ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс гиперболический: , другие обозначения: О. г. ф. действительного переменного хопределяются формулами О. г. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф ции, обратные к гиперболическим функциям; выражаются ф лами …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Обратные тригонометрические функции — (круговые функции, аркфункции)  математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin) арккосинус (обозначение: arccos)… …   Википедия

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: гиперболический синус, г иперболический косинус. Иногда рассматривается также гиперболический тангенс; Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1. Основные соотношения …   Математическая энциклопедия

  • Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Содержание 1 Определение 1.1 Геометрическое определение …   Википедия

  • Гиперболические функции —         функции, определяемые формулами:                  (гиперболический синус),                  (гиперболический косинус).          Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:                  (графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф.… …   Большая советская энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»