Ёж (топология)

У этого термина существуют и другие значения, см. Ёж (значения).

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $O$, единичного полуинтервала $\mathbb{P}=(0,1]$ и произвольного множества $S$ заданной мощности $\mathfrak{m}$, называемой колючестью ежа, как:

$J(\mathfrak{m}) = \{O\}\cup(\mathbb{P}\times S)$,

с введением метрики следующим образом:

1. $d(O,(x,s)) = x$
2. $d((x,s_1), (y,s_2)) = \begin{cases} |x - y|, & s_1 = s_2 \\ x + y, & s_1 \neq s_2 \end{cases}$.

Название возникло из-за ассоциации с «иголками», торчащими из отрезка, «колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, $J(0)$ — просто точка $O$, $J(1) = J(2)$ — отрезок.

Свойства

Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества $S$ с точностью до гомеоморфизма.

Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при $\mathfrak{m} \ge \omega$^[1], не сильно паракомпактен при $\mathfrak{m} > \omega$^[2].

Не является локально сепарабельным при $\mathfrak{m} > \omega$^[3].

$J(\mathfrak{m})$ вкладывается в $J(\mathfrak{n})$ при $\mathfrak{m} \le \mathfrak{n}$.

$J(\mathfrak{m})$ вкладывается в плоскость $\mathbb{R}^2$ только при $\mathfrak{m}< \omega$ (уже в счётном случае характер центра ежа становится несчётен).

Если $\mathfrak{m}$ — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа $J(\mathfrak{m})$ равны $\omega$. Иначе (при $\mathfrak{m} \ge \omega$) вес и характер равны $2^\mathfrak{m}$, а плотность, клеточность и число Линделёфа — $\mathfrak{m}$.

Интересные факты

Квадрат триода $J(3)$ не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство $\mathbb{R}^3$.

На плоскости ($\mathbb{R}^2$) нельзя расположить несчётное количество триодов $J(3)$ так, чтобы они попарно не пересекались.

Открытое отображение ежа - снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи $J(1)$ и $J(2)$).

Примечания

1. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 395
2. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 528
3. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 425

Литература

• Энгелькинг, Рышард Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проверить достоверность указанной в статье информации.