Преобразование Гольштейна

Преобразование Гольштейна — Примакова — переход от операторов спина к операторам рождения и уничтожения магнонов (являющихся бозонами^[1]). Было предложено Теодором Гольштейном (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и Генри Примаковым (1914—1983)^[2] в оригинальной работе 1940 года.^[3]

Первое преобразование Гольштейна — Примакова

При изучении спиновых волн обычно переходят к циклическим комбинациям компонент спинов. Это выполняют следующим образом. Динамика магнитных моментов (или спинов) описывается уравнением Ландау — Лифшица. Предполагая, что ферромагнетик помещён в сильное магнитное поле напряжённостью $H_\mathrm{ext}$ вдоль оси z и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной S выполняются соотношения $S_z \approx S$, $S_{x,y}\ll S$) уравнение Ландау — Лифшица в приближении магнитной анизотропии для j-го спина принимает вид

$\frac{\mathrm dS_j^x}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_i^y-S_j^y) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^y,$

$\frac{\mathrm dS_j^y}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_j^x-S_i^x) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^x,$

где магнитная анизотропия включена в обменный интеграл $J_{ji}$, g — фактор Ланде, $\mu_B$ — магнетон Бора. Для изучения спиновых волн эти два уравнения записывают для операторов

$S_j^\pm = S_j^x\pm iS_j^y,$

в форме

$\frac{\mathrm dS_j^\pm}{\mathrm dt} = \mp i\left( S\sum_{j}J_{ji}(S_j^\pm-S_i^\pm) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^\pm\right),$

где i — мнимая единица.^[4]

В таком случае преобразованием Гольштейна — Примакова (первым) называют замену

$S_j^+ = \sqrt{2S}\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2}a_j ,\quad S_j^- = \sqrt{2S}a_j^\dagger\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2},$

где $a_j^\dagger$ — оператор рождения спиновых возбуждений (квазичастиц), $a_j$ — оператор их уничтожения.^[2][5]

Данное преобразование справедливо при низких температурах, когда число квазичастиц можно считать малым. Требование диагонализации спинового гамильтониана показывает, что элементарными возбуждениями ферромагнетика должны являться спиновые волны (то есть коллективные возбуждения), а не отклонения спинов от равновесного состояния, локализированные на узлах решётки.^[6]

Второе преобразование Гольштейна — Примакова

Иногда говорят о втором преобразовании Гольштейна — Примакова имея ввиду переход к операторам рождения и уничтожения спиновых волн путём преобразования Фурье операторов для квазичастиц $a_j$ и $a_j^\dagger$ и их представления через волновые вектора $\mathbf k$:

$a_{\mathbf k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j e^{-i\mathbf k \mathbf r_j},\quad a_{\mathbf k}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j^\dagger e^{i\mathbf k \mathbf r_j}.$

Новые операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и «старые» и поэтому также могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения бозе-частиц, но которые уже являются коллективизированными. Спиновый гамильтониан, выраженный через них, диагонализуется, а сами операторы $a_{\mathbf k}$ и $a_{\mathbf k}^\dagger$ называют операторами уничтожения и рождения спиновых волн или магнонов.^[7]

См. также

• Вторичное квантование

Примечания

1. ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 225
2. ↑ ^{1 2} Rössler, 2009, p. 173
3. ↑ T. Holstein, H. Primakoff. Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet // Phys. Rev. — 1940. — Т. 58. — № 12. — С. 1098–1113. — DOI:10.1103/PhysRev.58.1098
4. ↑ Rössler, 2009, pp. 171—172
5. ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 230
6. ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 231—232
7. ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 232—233

Литература

• Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. — М.: Физматлит, 1994. — 464 с. — 2000 экз. — ISBN 5-02-014366-9
• Давыдов А. С. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1976. — С. 106—108. — 646 с.
• Х. Xакен. Квантовополевая теория твердого тела. — М.: Наука, 1980.
• T. Holstein, H. Primakoff. Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet // Phys. Rev. — 1940. — Т. 58. — № 12. — С. 1098–1113. — DOI:10.1103/PhysRev.58.1098
• Kei Yosida. Theory of magnetism. — Springer, 1998. — Vol. 122. — P. 120—125. — 320 p. — (Springer series in solid-state sciences). — ISBN 9783540606512
• Ulrich Rössler. Solid state theory: an introduction. — 2nd ed. — Springer, 2009. — 398 p. — ISBN 9783540927617