Функции Матьё

Функции Матьё

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Содержание

Уравнение Матье

Уравнением Матье называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

 \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0. ,

где a и q - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

Решения уравнения Матьё

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: y(x) = \exp (\mu x) \phi (x), где \phi (x) имеет период 2 \pi. При \mu = 0 эти решения являются периодическими с периодом 2 \pi и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: ce_0(x), ce_1(x), se_1(x), ce_2(x), se_2(x), .... Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: ce_{2n}(x)=\sum_k A_k \cos 2kx, 
ce_{2n+1}(x)=\sum_k B_k \cos (2k+1)x, se_{2n}(x)=\sum_k C_k \sin 2kx,  se_{2n+1}(x)=\sum_k D_k \sin (2k+1)x,, где величины A_k, B_k, C_k, D_k являются функциями от величин \alpha, \beta в уравнении Матьё. Значения A_k, B_k, C_k, D_k можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. также

Уравнение Хилла

Литература

  • Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
  • Уравнение Матье, EqWorld

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем со сдачей теста

Полезное


Смотреть что такое "Функции Матьё" в других словарях:

  • Мать —  Мать  ♦ Mère    «Бог не может быть везде, а потому он создал матерей», – гласит еврейская пословица. Мне представляется, что она довольно точно выражает как идею Бога, так и идею материнства.    Что такое мать? Женщина, выносившая и родившая… …   Философский словарь Спонвиля

  • МАТЬЁ ФУНКЦИИ — специальные ф ции типа удовлетворяющих дифференц. ур нию (ур ниe Mатьё, частный случай Хилла уравнения), к рое получается при разделении в эллиптич. координатах переменных в Гельмгольца уравнении, стационарном ур нии Шрёдингера и в матем. моделях …   Физическая энциклопедия

  • МАТЬЁ ФУНКЦИИ — периодические решения Матьё уравнения к рые существуют только тогда, когда точка (a, q )на плоскости параметров лежит на границе зон устойчивости. М. ф. четна или нечетна и единственна с точностью до множителя; второе линейно независимое решение… …   Математическая энциклопедия

  • МАТЬ — символ жизни, святости, вечности, тепла и всепобеждающей любви. Культ почитания матери, как главы рода и охранительницы, сохраняется во многих культурах до настоящего времени. Образ матери в мировой культуре имеет не менее четырех символических… …   Символы, знаки, эмблемы. Энциклопедия

  • Матьё функции —         специальные функции, введённые французским математиком Э. Матье (E. Mathieu) в 1868 при решении задач о колебании эллиптической мембраны. М. ф. применяются также при изучении распространения электромагнитных волн в эллиптическом цилиндре …   Большая советская энциклопедия

  • МАТЬЁ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами. Введено Э. Матьё [1] при исследовании колебаний эллиптич. мембраны; частный случай Хилла уравнения. Фундаментальная система решений М. у. имеет вид при , п целое,… …   Математическая энциклопедия

  • СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — отдельные классы функций, возникающих вомногих теоретич. и прикладных задачах, обычно при решении дифференц. ур ний …   Физическая энциклопедия

  • Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов. Специальные функции …   Википедия

  • Специальные функции — (математические)         функции различных специальных классов, особенно часто встречающиеся при решении задач математмческой физики. Основными С. ф. являются решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными… …   Большая советская энциклопедия

  • БОГИНЯ-МАТЬ — главное женское божество в большинстве мифологий мира. Как правило, соотносится с землёй и более широко с женским творческим началом в природе. Самые ранние свидетельства о почитании Б. м. верхнепалеолитические « Венеры» статуэтки женщин с… …   Энциклопедия мифологии

Книги

Другие книги по запросу «Функции Матьё» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»