Параметрический осциллятор

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора, это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером, механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике, примером параметрического осциллятора, может служить, используемый во многих областях, параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода, с помощью специальной схемы называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике, волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса $m$, коэффициент упругости $k$ и коэффициент затухания $\beta$. Если эти коэффициенты зависят от времени, и $m=m(t), k=k(t), \beta=\beta(t)$, то уравнение движения имеет вид

$\frac{d}{d t}(m\dot x) + \beta \dot x +kx = 0,$

$(1)$

Сделаем замену переменной времени $t$ →$\tau$, где $d\tau=dt/m(t)$, что приводит уравнение (1) к виду

$\frac{d^2x }{d \tau^2} + \beta\frac{d x }{d \tau} + kmx = 0,$

$(2)$

Сделаем еще одну замену $x(\tau)$ → $q(\tau)$:

$q(\tau)=\exp^{B(\tau)}x(\tau), B(\tau)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\tau}\beta(\xi )d\xi,$

$(3)$

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

$\frac{d^2 q}{d \tau^2}+\delta^2(\tau)q=0 , \delta^2(\tau)=km-\frac{\dot\beta}{2}-\frac{\beta^2}{4},$

$(4)$

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

$\frac{d^2x }{d t^2}+\omega ^2(t)x=0,$

$(5)$

которое получилось бы из уравнения (1) при $m=const$.

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты $\omega ^2(t)=\omega ^2_{0}$, аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости $\omega (t)$ уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости $\omega (t)$ — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

---

1. Рассмотрим случай, когда $\omega^2 (t)=\omega ^2_{0}[1+h\cos (\omega _{0}+\varepsilon )t]$, то есть уравнение (5) имеет вид

$\frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos (\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0,$

$(6)$

Где $\omega_{0}$ — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты $h \ll 1$, постоянная $\varepsilon \ll \omega_{0}$ — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что $h>0$. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра $\varepsilon$, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение $x(t)$ неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

$-\frac{5}{24}< \frac{\varepsilon }{h^2\omega_{0}}<\frac{1}{24},$

$(7)$

2. Рассмотрим случай, когда $\omega^2(t)=\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

$\frac{d^2x }{dt^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0,$

$(8)$

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой $y=2\omega_{0}t\varepsilon$. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов $h^2$, происходит в случае, когда

$-\frac{1}{32}h-\frac{1}{2}<\frac{\varepsilon}{h\omega_{0}}<-\frac{1}{32}h+\frac{1}{2},$

$(9)$

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

$\ddot\phi +\omega^2_{0}[1+\frac{4a}{l}\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t]\phi=0,$

$(10)$

где $\omega^2_{0}=\frac{g}{l}$, и $h=\frac{4a}{l}$. В случае, когда $a \ll l$ и ограничиваясь первым порядком разложения по $h$, получим, что

$-\frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}}<\varepsilon<\frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}},$

$(11)$

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний $\omega=\omega_{0}$ и её удвоенного значения $\omega=2\omega_{0}$, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

$\frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0,$

$(12)$

Параметрический резонанс имеет место, когда

$\omega=\frac{2\omega_{0}}{n}, n=1,2,...,$

$(13)$

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника $\omega_{0}$, а ширина резонанса равна $h\omega_{0}$. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

$\frac{d^2x }{d t^2}+3\gamma \frac{d x}{d t}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0,$

$(14)$

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых $h \ll 1$, а лишь при тех $h>\frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma^2}$. Т.о., при наличии трения

$\frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma}<h \ll 1,$,

$(15)$

что позволяет надлежащим выбором параметров $\gamma$,$\omega_{0}$, и $h$, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки

1. Пример параметрической неустойчивости [1]

1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

Литература

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.