- Теорема Хопфа
-
Теорема Хопфа — Ринова утверждает, что для риманова многообразия
следующие утверждения эквивалентны:
― полно (т.е. риманово многообразие полное как метрическое пространство);
- для каждой точки
экспоненциальное отображение
определено на всем
(где
― касательное пространство к
в точке
);
- каждое ограниченное в
замкнутое множество компактно.
Следствия
- любые две точки p и q в полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между p и q;
- любая геодезическая в полном римановом многообразии неограниченно продолжаема.
Литература
- Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
- Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
Категория:- Риманова (и псевдориманова) геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.