Теорема Реллиха

Теорема Реллиха

Теорема Реллиха, доказанная в 1940 году Францом Реллихом, утверждает следующее:

Пусть в дифференциальном уравнение

\dot{x}=f(x,t)

правая часть является всюду сходящимся степенным рядом по x,t (целой функцией). Если имеется два решения x=u(t) и x=v(t), которые являются целыми функциями t, то любое другое целое решение x=w(t) имеет вид

 w(t)=u(t)+(v(t)-u(t))c

при надлежащим образом выбранной константе c. Если f(x,t) не является линейной функцией x, то имеется не более чем счётное число констант c_n, при которых выражение

 u(t)+(v(t)-u(t))c_n

является решением и множество c_n не может иметь конечной предельной точки.


Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решений u(t)+(v(t)-u(t))c_n при любых заданных u(t), v(t), не равных друг другу ни при каком значении t, и любом наборе чисел c_n (имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).

Следствия

Следствием теоремы Реллиха является то, что общее решение x=x(t,C) нелинейного уравнения \dot x= f(x,t) с целой правой частью не может быть целой функцией от t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Реллиха" в других словарях:

  • Теорема Реллиха о целых решениях дифференциального уравнения — Связать? Теорема, доказанная в 1940 г. Фр. Реллихом, у …   Википедия

  • Пространство Соболева — (в математике)  функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ( ), имеющих обобщенные производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева …   Википедия

  • Реллих, Франц — Франц Реллих Franz Rellich Дата рождения …   Википедия

  • Реллих — Реллих, Франц Реллих, Франц …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»