- Теорема Реллиха
-
Теорема Реллиха, доказанная в 1940 году Францом Реллихом, утверждает следующее:
Пусть в дифференциальном уравнение
правая часть является всюду сходящимся степенным рядом по
(целой функцией). Если имеется два решения
и
, которые являются целыми функциями
, то любое другое целое решение
имеет вид
при надлежащим образом выбранной константе
. Если
не является линейной функцией
, то имеется не более чем счётное число констант
, при которых выражение
является решением и множество
не может иметь конечной предельной точки.
Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решенийпри любых заданных
, не равных друг другу ни при каком значении
, и любом наборе чисел
(имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).
Следствия
Следствием теоремы Реллиха является то, что общее решение
нелинейного уравнения
с целой правой частью не может быть целой функцией от t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.
Ссылки
- Rellich, Fr. (1940). «Ueber die ganzen Loesungen einer gewoehnlichen Differentialgleichung erster Ordnung» (German). Math. Ann. 117: 587—589.
- Виттих Г. Глава V. Приложения к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. — М.: Физматлит, 1960. — С. 114.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
- Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
Категории:- Дифференциальные уравнения
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.