- Ретракт
-
Ретракт топологического пространства
— подпространство
этого пространства, для которого существует ретракция
на
; то есть непрерывное отображение
, тождественное на
(то есть такое, что
при всех
).
Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства, в то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.
Содержание
Примеры
- Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.
- Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.
-мерная сфера не является ретрактом
-мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу
. Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.
Связанные определения
- Подпространство
пространства
называется окрестностным ретрактом, если в
существует открытое подпространство, содержащее
, ретрактом которого является
.
- Метризуемое пространство
называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего
в качестве замкнутого подпространства.
- Если ретракция пространства
на его подпространство
гомотопна тождественному отображению пространства
на себя, то
называется деформационным ретрактом пространства
.
Свойства
- Подпространство
пространства
является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства
в произвольное топологического пространство
можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства
в
.
- Если пространство
хаусдорфово, то всякий ретракт пространства
замкнут в
.
- Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
- компактность,
- связность,
- линейная связность,
- сепарабельность,
- ограничение сверху на размерность,
- паракомпактность,
- нормальность,
- локальная компактность,
- локальная связность.
- Если пространство
имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения
существует точка
такая, что
, то и каждый ретракт пространства
обладает свойством неподвижной точки.
- Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством.
- Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.
Литература
- Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.
Категория:- Топология
Wikimedia Foundation. 2010.