Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. В общем, существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение

• Пусть дан числовой ряд $\sum_{n=0}^\infty a_n.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

$\lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{x^k}{k!}S_k = S,$ где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

• Пусть дан числовой ряд $\sum_{n=0}^\infty a_n.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

$\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_n\frac{a_n}{n!}t^n = S$

Пример

Рассмотрим ряд $\sum_0^\infty n!x^n.$ Данный ряд является расходящимся для произвольного $x\neq 0.$ Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

$\sum_0^\infty n!x^n=\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_{n=0}^\infty (xt)^n =\int _0^\infty dt\frac{e^{-t}}{1-xt},$

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства

Пусть функция:

$f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}$

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку $P \in C$ проведём отрезок $OP\,$ и прямую $L_p\,,$, которая проходит через точку Р перпендикуллярно к $OP\,$. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых $L_p\,,$ обозначим $\Pi \,$. Тогда граница $\Gamma\,$ области $\Pi \,$ называется многоугольником Бореля функции f(z), а область $\Pi \,$ её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

$\sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}$

является B-сходящимся в области $\Pi \,$ и не является B-сходящимся в области $\Pi^* \,$ — дополнены до $\Pi \,$ .

См. также

• Сходимость по Чезаро

Ссылки

• Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .