Разложение Риччи

Эта статья содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, переведя её до конца. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне.

В псевдоримановой геометрии разложение Риччи — это разложение тензора кривизны Римана на неприводимые относительно ортогональной группы тензорные части. Это разложение играет важную роль в римановой и псевдоримановой геометрии.

Составные части тензора Римана

Разложение выглядит так:

$R_{abcd}= \, S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.$

Его элементами являются:

1. скалярная часть $S_{abcd}$,
2. полубесследовая часть $E_{abcd}$,
3. полностью бесследовая часть, носящая специальное название тензор Вейля, $C_{abcd}$.

Каждый элемент имеет те же симметрии, как и тензор кривизны, но также обладает специфическими алгебраическими свойствами.

Скалярная часть

$S_{abcd} = \frac{R}{(n-1) \, (n-2)} \, H_{abcd}$

зависит только от скалярной кривизны $R = {R^m}_m$ ($R_{ab}$ — тензор Риччи), и метрического тензора $g_{ab}$, который комбинируется таким образом, чтобы дать тензор $H_{abcd}$ с симметрией тензора кривизны:

$H_{abcd} = g_{ad} \, g_{cb} - g_{ac} \, g_{db} = 2g_{a[d} \, g_{c]b}.$

Полубесследовая часть

$E_{abcd} = \frac{1}{n-2} \, \left( g_{ac} \, R_{bd} - g_{ad} \, R_{bc} + g_{bd} \, R_{ac} - g_{bc} \, R_{ad} \right) = \frac{2}{n-2} \, \left( g_{a[c} \, R_{d]b} - g_{b[c} \, R_{d]a} \right)$

получается аналогичным образом из бесследовой части тензора Риччи

$S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{n} \, g_{ab} \, R$

и метрического тензора $g_{ab}$.

Тензор Вейля полностью бесследовой в том смысле, что его свёртка по любой паре индексов даёт ноль. Герман Вейль показал, что этот тензор измеряет отклонение псевдориманова многообразия от конформно-плоского: если он обращается в ноль, то многообразие локально конформно-эквивалентно плоскому многообразию.

Это разложение — чисто алгебраическое и не включает в себя никаких дифференцирований.

В случае лоренцева 4-мерного многообразия (например, пространства-времени) тензор Эйнштейна $G_{ab} = R_{ab} - 1/2 \, g_{ab} R$ имеет след, равный скалярной кривизне с обратным знаком, так что бесследовые части тензора Эйнштена и тензора Риччи совпадают

$S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{4} \, g_{ab} \, R = G_{ab} - \frac{1}{4} \, g_{ab} \, G.$

Замечание о терминологии: обозначения $R_{abcd}, \, C_{abcd}$ — стандартны, $S_{ab}, \, E_{abcd}$ — широко распространены, но не общеприняты, а тензоры $S_{abcd}$ и $H_{abcd}$ не имеют устоявшихся обозначений.

Математическое определение

С математической точки зрения разложение Риччи представляет собой разложение пространства всех тензоров с симметрией тензора кривизны на неприводимые представления ортогональной группы (Besse 1987, Chapter 1, §G). Пусть V — n-мерное векторное пространство с введённой на нём метрикой (возможно, смешанной сигнатуры). Если оно представляет собой касательное пространство в точке многообразия, то тензор кривизны R с ковариантными индексами представляет собой элемент тензорного произведения V⊗V⊗V⊗V, такой что он антисимметричен по паре первых и последних элементов:

$R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,$

и симметричен относительно их перестановки

$R(x,y,z,w) = R(z,w,x,y),\,$

для всех x,y,z,w ∈ V^∗. Тогда R принадлежит подпространству S²Λ²V, второй симметричной степени второй внешней степени V. Помимо этого, тензор кривизны должен также удовлетворять тождеству Бианки, обозначающему, что он принадлежит ядру линейного отображения

$b(R)(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + R(y,z,x,w) + R(z,x,y,w).\,$

Пространство RV = ker b в S²Λ²V is the space of algebraic curvature tensors. The Ricci decomposition is the decomposition of this space into irreducible factors. The Ricci contraction mapping

$c : S^2\Lambda^2 V \to S^2V$

is given by

$c(R)(x,y) = \operatorname{tr}R(x,\cdot,y,\cdot).$

This associates a symmetric 2-form to an algebraic curvature tensor. Conversely, given a pair of symmetric 2-forms h and k, the Kulkarni–Nomizu product of h and k

$h\circ k(x,y,z,w) = h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z) -h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)$

produces an algebraic curvature tensor.

If n ≥ 4, then there is an orthogonal decomposition into (unique) irreducible subspaces

RV = SV ⊕ EV ⊕ CV

where

$\mathbf{S}V = \mathbb{R} g\circ g$

$\mathbf{E}V = g\circ S^2_0V$, where S20V is the space of trace-free symmetric 2-forms

$\mathbf{C}V = \ker c \cap \ker b.$

The parts S, E, and C of the Ricci decomposition of a given Riemann tensor R are the orthogonal projections of R onto these invariant factors. В частности,

$R = S + E + C$

является ортогональным разложением в том смысле, что

$|R|^2 = |S|^2 + |E|^2 + |C|^2.$

Разложение Риччи выражает пространство тензоров с симметрией тензора Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля. Каждый из этих модулей представляет собой неприводимое представление ортогональной группы (Singer & Thorpe 1968), и таким образом это разложение является частным случаем разбиения (splitting) модуля полупростой группы Ли на неприводимые множители (factors). В 4-мерном случае модуль Вейля разлагается дополнительно в пару неприводимых множителей по специальной ортогональной группе: самодуальную и антисамодуальную части W⁺ и W⁻.

Физическая интерпретация

Разложение Риччи имеет физическое значение в рамках общей теории относительности и других метрических теорий гравитации, где оно называется иногда разложением Гехеняу — Дебевера (Géhéniau-Debever). In this theory, the Einstein field equation

$G^{ab} = 8 \pi \, T^{ab}$

where $T^{ab}$ is the stress-energy tensor describing the amount and motion of all matter and all nongravitational field energy and momentum, states that the Ricci tensor—or equivalently, the Einstein tensor—represents that part of the gravitational field which is due to the immediate presence of nongravitational energy and momentum. The Weyl tensor represents the part of the gravitational field which can propagate as a gravitational wave through a region containing no matter or nongravitational fields. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля зануляется, не содержат гравитационных волн и являются конформно плоскими, что влечёт за собой, например, отсутствие гравитационного отклонения света в таких областях.

См. также

• Bel decomposition of the Riemann tensor
• Conformal geometry
• Schouten tensor
• Trace-free Ricci tensor

Ссылки

• Besse, Arthur L. (1987), «Einstein manifolds», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, сс. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .

• Hawking, S. W.; and Ellis, G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time. — Cambridge: Cambridge University Press, 1973. — ISBN 0-521-09906-4 See section 2.6 for the decomposition. This book uses opposite signature but the same Landau-Lifshitz spacelike sign convention used in the Wikipedia.

• Weinberg, Steven Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. — New York: John Wiley & Sons, 1972. — ISBN 0-471-92567-5 See section 6.7 for a discussion of the decomposition (but note different sign conventions).

• Wald, Robert M. General Relativity. — The University of Chicago Press, 1984. — ISBN 0-226-87033-2 See section 3.2 for a discussion of the decomposition.

• Sharpe, R.W. (1997), «Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program», Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 . Section 6.1 discusses the decomposition. Versions of the decomposition also enter into the discussion of conformal and projective geometries, in chapters 7 and 8.

• Singer, I.M. & Thorpe, J.A. (1969), "The curvature of 4-dimensional Einstein spaces", «Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira)», Univ. Tokyo Press, сс. 355–365 .

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.