- Многочлены Бернулли
-
В математике, Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале
не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени, многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.
Содержание
Определение
Многочлены Бернулли
можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.
Явная формула
, где
— биномиальные коэффициенты,
— числа Бернулли.
Или
Производящая функция
Производящей функцией для многочленов Бернулли является
Представление дифференциальным оператором
, где
— оператор формального дифференцирования.
Явное выражение для небольших степеней
Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:
Свойства
Начальные значения
начальные значения многочленов Бернулли при
равны соответствующим числам Бернулли:
.
Дифференцирование и интегрирование
Вычисляя производную от производящей функции:
.
Левая часть отличается от производящей функции только множителем
, поэтому
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
, получаем:
, откуда
. (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).
Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:
.
Также бывает полезно свойство сбалансированности:
(при
)
Теорема об умножении аргумента
Пусть — произвольное натуральное число, тогда
Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:
.
Симметрия
Экстремумы
Разности
Теоремы сложения
Разложение произвольной функции по многочленам Бернулли
Ряд Фурье
Обращение
Связь с символом Похгаммера
Периодические многочлены Бернулли
См. также
Литература
Ссылки
Категория:- Многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.