Многочлены Бернулли

Многочлены Бернулли
Многочлены Бернулли

В математике, Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале \ [0,1] не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени, многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

Содержание

Определение

Многочлены Бернулли \ B_n(x) можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.

Явная формула

B_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k B_{n-k} x^k, где C_n^k — биномиальные коэффициенты, \ B_k — числа Бернулли.

Или

B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k C_m^k (x+k)^n.

Производящая функция

Производящей функцией для многочленов Бернулли является

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.

Представление дифференциальным оператором

B_n(x)={D \over e^D -1} x^n, где D — оператор формального дифференцирования.

Явное выражение для небольших степеней

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

\ B_0(x)=1,
B_1(x)=x-\frac{1}{2},
B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},
B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}x,
B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,
B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.

Свойства

Начальные значения

начальные значения многочленов Бернулли при \ x=0 равны соответствующим числам Бернулли:

\ B_n(0)=B_n.

Дифференцирование и интегрирование

Вычисляя производную от производящей функции:

t e^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n.

Левая часть отличается от производящей функции только множителем \ t, поэтому

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^{n+1}.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \ t, получаем:

\frac{B'_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}, откуда
\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x). (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

\ B_n(x)=B_n+n\int_0^x B_{n-1}(t)\,dt.

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

\int_0^1B_n(x)dx=1 (при n>0 )

Теорема об умножении аргумента

Пусть — произвольное натуральное число, тогда


\sum_{n=0}^\infty B_n(mx) \frac{t^n}{n!}=\frac{t e^{mxt}}{e^t-1}= \frac{1}{m}e^{mxt}\frac{mt(1+e^t+\cdots+e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}\frac{e^{\left(x+\frac{s}{m}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n\left(x+\frac{s}{m}\right)m^n}{n!}t^n.

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{s=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{s}{m}\right).

Симметрия

\ B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),
\ (-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}.

Экстремумы

Разности

Теоремы сложения

Разложение произвольной функции по многочленам Бернулли

Ряд Фурье

Обращение

Связь с символом Похгаммера

Периодические многочлены Бернулли

См. также

Литература

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Многочлены Бернулли" в других словарях:

  • БЕРНУЛЛИ МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены вида где Bs Бернулли числа. Так, для n=0, 1, 2, 3 Б. м. можно вычислять по рекуррентной формуле Для натурального Б. м. впервые рассматривались Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением суммы При произвольном хБ. м. впервые …   Математическая энциклопедия

  • Многочлен Бернулли — Многочлены Бернулли В математике, Многочлены Бер …   Википедия

  • АППЕЛЯ МНОГОЧЛЕНЫ — Аппеля полином ы, класс многочленов над полем комплексных чисел, содержащий многие классич. системы многочленов. А. м. введены П. Аппелем [1]. Последовательность А. м. определяется формальным равенством в к ром формальный степенной ряд с… …   Математическая энциклопедия

  • Дзета-функция Гурвица — В математике Дзета функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица,  это одна из многочисленных дзета функций, являющихся обобщениями дзета функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s,… …   Википедия

  • Линия — I Линия (от лат. linea)         геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.          1) В элементарной… …   Большая советская энциклопедия

  • Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… …   Большая советская энциклопедия

  • ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ — свойства отдельных функций, к рые выделяют их как решения нек рых экстремальных задач. Большинство специальных функций, возникших в математич. анализе могут быть охарактеризованы нек рым экстремальным свойством. Таковы, напр., экстремальные… …   Математическая энциклопедия

  • Ряд Тейлора — Ряд Тейлора  разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора  его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… …   Википедия

  • Бесселя функции —         Цилиндрические функции 1 го рода; возникают при рассмотрении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.) в областях с круговой и цилиндрической симметрией; являются решениями Бесселя уравнения (См. Бесселя… …   Большая советская энциклопедия

  • Интегральное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»