- АППЕЛЯ МНОГОЧЛЕНЫ
Аппеля полином ы, - класс многочленов над полем комплексных чисел, содержащий многие классич. системы многочленов. А. м. введены П. Аппелем [1]. Последовательность А. м.
определяется формальным равенством
в к-ром
- формальный степенной ряд с комплексными коэффициентами
причем
. В явном виде А. м. An(z).выражаются через числа
следующим образом:
Условие
равносильно тому, что степень многочлена
равна
.
Имеется другое, эквивалентное определение А. м. Пусть
- дифференциальный оператор, вообще говоря, бесконечного порядка, определенный над алгеброй Ркомплексных многочленов переменного
Тогда
то есть
представляет собой образ функции
при отображении
Класс
А. м. определяется как совокупность всевозможных систем многочленов
с производящими функциями вида (1). Принадлежность системы
многочленов (степени п).классу
равносильна выполнению соотношений
Иногда при определении А. м. класса А (1) пользуются соотношениями
к-рые, с точностью до нормировки, эквивалентны приведенным выше.
А. м. класса А (1) используются при решении уравнений вида
формальное равенство
при
позволяет записать решение (2) в виде
где
- А. м. с производящей функцией
В связи с этим особый интерес представляют разложения аналитич. функций в ряды по А. м. Кроме того, А. м. находят применение в различных задачах, относящихся к функциональным уравнениям, в том числе к дифференциальным уравнениям, отличным от (2), в вопросах интерполирования, теории приближения, в методах суммирования и др. (см., напр., [1] -[6]). С более общей позиции теория А. м. класса А (1) (инек-рые приложения) изложена в [6].
А. м. класса А (1) содержат в качестве частных случаев целый ряд классических последовательностей многочленов. Примерами, с точностью до нормировки, могут служить Бернулли многочлены
Эрмита многочлены
Лагерра многочлены
и т. д. Многочисленные примеры А. м. имеются в [2] и [3].
Существуют различные обобщения А. м., к-рые также носят назв. систем A.M. Сюда относятся А. м. с производящими функциями вида
а также А. м. с производящими функциями более общего характера:
(см., напр., [2] и [3]). Если
- функция, обратная функции
, то принадлежность системы многочленов
к классу последовательностей А. м. с производящей функцией вида (3) равносильна выполнению соотношений
Имеется всего пять ортогональных с весом систем последовательностей А. м. на действительной оси, с производящими функциями вида (3); в том числе среди А. м. с производящими функциями вида (1) лишь одна система многочленов Эрмита является ортогональной с весом
на действительной оси (см. [7]).
О разложениях в ряды по А. м. с производящими функциями вида (3) и (4), а также о связи этих А. м. с различными функциональными уравнениями см. [2], [7], [8].
Класс
- целое, А. м. определяется следующим образом: это есть множество всех систем многочленов
, для каждой из к-рых имеет место (формальное) представление
где
- формальные степенные ряды, свободные члены к-рых таковы, что степень многочлена
равна п. Принадлежность последовательности
многочленов степени
классу
равносильна выполнению соотношений
Вопросы разложения аналитич. функций в ряды по А. м. класса
исследованы в [9]. Они тесно примыкают к задаче о нахождении аналитич. решений функциональных уравнений вида
A.м. от двух переменных введены П. Аппелем [10]. Они определяются равенствами
в к-рых полагают
для
; эти А. м. представляют собой аналог Якоби многочленов. А. м.
ортогональны с весом
любому многочлену от двух переменных, степени, меньшей
, по области Т, где Т - треугольник:
однако они не образуют системы функций, ортогональных с весом
в области Т(см., напр., [3]).
Лит.:[ll Appell P., "Ann. sci. Ecole norm, super.", 1880, v. 9, p. 119-44; [2] Воas R. P., Вuсk R. C., Polynomial expansions of analytic functions, В., 1958; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1-3, М., 1965-67; [41 Wооd В., "SIAM J. Appl. Math.", 1969, v. 17, № 4, p. 790-801; [5] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [6] Бур баки Н., Функции действительного переменного, пер. с франц., М., 1965; [7] Меiхnеr J., "J. London Math. Soc.", 1934, v. 9, pt 1, p. 6- 13; [8] Andеrsоn Сh. A., "J. Math. Analysis and Appl.", 1967, v. 19, № 3, p. 475-91; [9] Казьмин Ю. А., "Матем. заметки", 1969, т. 5, в. 5, с. 509-520; 1969, т. 6, в. 2, с. 161 - 72; [10] Appell P., "Arch. Math. Phys.", 1881, Bd 66, S. 238-45.
Ю. А. Казьмин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.