ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

свойства отдельных функций, к-рые выделяют их как решения нек-рых экстремальных задач. Большинство специальных функций, возникших в математич. анализе могут быть охарактеризованы нек-рым экстремальным свойством. Таковы, напр., экстремальные свойства полинимов:классич. Лагерра многочлены, Лежандра многочлены, Чебышева многочлены, Эрмита многочлены, Якоби многочлены можно охарактеризовать как многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля в пространстве L2 с весом. Классич. полиномы являются обычно решениями разных экстремальных задач, нередко возникающих в отдаленных областях анализа. Так, напр., многочлены Чебышева экстремальны в задаче о неравенстве для производных многочленов (см. [1], Маркова неравенство). То же можно сказать и о др. специальных функциях. Многие из них являются собственными функциями для дифференциальных операторов, т. е. являются решением нек-рой изопериметрической задачи. При этом, наиболее известные специальные функции так или иначе связаны с наличием нек-рой инвариантной структуры (см. Гармонический анализ абстрактный), когда они являются собственными функциями Лапласа - Бельтрами уравнения, инвариантного относительно сдвигов. Таковы тригонометрич. полиномы, сферич. функции, цилиндрич. функции и др. (см. [2]). Большинство Э. с. ф. может быть сформулировано в виде нек-рого точного неравенства.
С экстремальными задачами теории приближений связаны Бернштейна неравенство, Бора - Фавара неравенство и др. В частности, неравенство Бора - Фавара отражает экстремальное свойство Бернулли многочленов. Э. с. ф. изучаются в теории приближении (см. [6], [7]), в теории численного интегрирования (см. [8]). Сплайны могут быть охарактеризованы различными экстремальными свойствами (см. [9]). Многие специальные сплайны обладают рядом экстремальных свойств, касающихся аппроксимации и интерполяции классов функций (см. [7], [8]). Многие Э. с. ф. изучают в комплексном анализе. В частности, Кебе функция является экстремальной функцией ряда задач теории однолистных функций. См. также Изoпериметрическое неравенство, Вложения теоремы.

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной, ч. 1, Л.- М., 1937; [2] Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представлении групп, М., 1965; [3] Харди Г. Г., Литтльвуд Д. <Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [4] Беккелбах Э., Беллман Р., Неравенства, пер. с англ., М., 1965; [5] Мitrinоviс D. S., Analiticke nejednakosti, Beograd, 1970; [6] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближений, М., 1976; [7] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [8] Никольский С. М., Квадратурные формулы, 3 изд., М., 1979; [9] Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж., Теория сплайнов и его приложения, пер. с англ., М., 1 972
В. М. Тихомиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ" в других словарях:

  • ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ — свойства алгебраических, тригонометрических или обобщенных полиномов, к рые выделяют их в качестве решений нек рых экстремальных задач. Напр., Чебышева многочлены имеют наименьшую норму в пространстве С([ 1, 1]) среди всех алгебраич. многочленов… …   Математическая энциклопедия

  • ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ — численные методы решения методы вычислительной математики, применяемые для поиска экстремумов (максимумов или минимумов) функций и функционалов. Для численного решения экстремальных задач, рассматриваемых в бесконечномерных функциональных… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — прямые и обратные теоремы теоремы и неравенства, устанавливающие связь между дифференциально разностными свойствами приближаемой функции и величиной (а также поведением) погрешности приближения ее тем или иным методом. Прямые теоремы (п. т.) дают …   Математическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — замена по определенному правилу функции f(t).близкой к ней в том или ином смысле функцией j(t). из заранее фиксированного множества (приближающего множества). Предполагается, что функция f определена на том множестве Qm мерного евклидова… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — случай многих действительных переменных случай, когда приближаемая функция f зависит от двух и большего числа переменных: (см. Приближение функций). По сравнению с одномерным случаем исследование вопросов приближения функций т(т 2) переменных… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО — раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближенного представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитич. ций специальных классов. Основными в теории П. ф. к. п. являются задачи о возможности приближения,… …   Математическая энциклопедия

  • Сплайн — (от англ. spline, от [flat] spline  гибкое лекало, полоса металла, используемая для черчения кривых линий)  функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым… …   Википедия

  • ОДНОЛИСТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция f, регулярная или мероморфная в области Врасширенной комплексной плоскости п такая, что для всяких zl , выполняется соотношение то есть f отображает В в взаимно однозначно. При этом обратная функция также однолистна. Обобщением О. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • Ибрагимов, Ибрагим Ибишевич — Ибрагим Ибишевич Ибрагимов азерб. İbrahim İbrahimov Дата рождения: 28 февраля 1912(1912 02 28) (100 лет) Место рождения: Гаргабазар Нагорны …   Википедия

  • КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ МЕТОД — один из основных методов геометрич. теории функций комплексного переменного, позволяющий получать различные неравенства, выражающие экстремальные свойства однолистных и многолистных функций, а также тождества, связывающие основные функции… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»