БЕРНУЛЛИ МНОГОЧЛЕНЫ

БЕРНУЛЛИ МНОГОЧЛЕНЫ

многочлены вида


где Bs- Бернулли числа. Так, для n=0, 1, 2, 3


Б. м. можно вычислять по рекуррентной формуле


Для натурального Б. м. впервые рассматривались Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением суммы


При произвольном хБ. м. впервые изучал Л. Эйлер (L. Euler) (см. [1], с. 300). Термин "Б. м." ввел И. Л. Раабе (J. L. Raabe, 1851). Основное свойство: Б. м. удовлетворяют разностному уравнению


и поэтому играют в исчислении конечных разностей ту же роль, что и степенные функции в дифференциальном исчислении.

Б. м. принадлежат к классу Аппеля многочленов, т. е. удовлетворяют условию:


и тесно связаны с Эйлера многочленами:


Производящая функция Б. м. имеет вид:

Для Б. м. справедливо разложение в Фурье ряд для п=1


и для


Б. м. удовлетворяют соотношениям:


(теорема умножения),


(теорема, дополнения),


(теорема сложения аргументов).

Б. м. используются для выражения остаточного члена Эйлера - Маклорена формулы суммирования и для разложения функций в ряды. Из свойств Б. м. выва-дятся многие важные свойства чисел Бернулли: Б. м. используются для интегрального представления дифференцируемых периодпч. функций .



и играют важную роль в теории приближения таких функций тригонометрия, полиномами и др. агрегатами, см. Фавара задача.

Известны различного рода обобщения Б. м. Н. Э. Нёрлундом введены обобщенные Б. м. порядка v и степени п:


(нек-рые частные случаи этих многочленов рассматривались ранее В. Г. Имшенецким, Н. Я. Сониным и Д. М. Синцовым). Пусть


и


тогда последовательно определяются как полиномиальные решения степени празностного уравнения


где (обобщенные числа Бернулли) находятся из рекуррентного соотношения


Лит.: [1] Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, пер. с лат., М.-Л., 1949; [2] Nоr1und N. Е., Vorlesungen uber Differenzenrechnung, В., 1924; [3]Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [4] Лихин В. В., в сб.: Историко-математические исследования, в. 12, М., 1959, с. 59-134. Ю. Н. Субботин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "БЕРНУЛЛИ МНОГОЧЛЕНЫ" в других словарях:

  • Многочлены Бернулли — В математике, Многочлены Бернулли  многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении мно …   Википедия

  • Многочлен Бернулли — Многочлены Бернулли В математике, Многочлены Бер …   Википедия

  • АППЕЛЯ МНОГОЧЛЕНЫ — Аппеля полином ы, класс многочленов над полем комплексных чисел, содержащий многие классич. системы многочленов. А. м. введены П. Аппелем [1]. Последовательность А. м. определяется формальным равенством в к ром формальный степенной ряд с… …   Математическая энциклопедия

  • Линия — I Линия (от лат. linea)         геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.          1) В элементарной… …   Большая советская энциклопедия

  • Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… …   Большая советская энциклопедия

  • ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ — свойства отдельных функций, к рые выделяют их как решения нек рых экстремальных задач. Большинство специальных функций, возникших в математич. анализе могут быть охарактеризованы нек рым экстремальным свойством. Таковы, напр., экстремальные… …   Математическая энциклопедия

  • Дзета-функция Гурвица — В математике Дзета функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица,  это одна из многочисленных дзета функций, являющихся обобщениями дзета функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s,… …   Википедия

  • Ряд Тейлора — Ряд Тейлора  разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора  его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… …   Википедия

  • Бесселя функции —         Цилиндрические функции 1 го рода; возникают при рассмотрении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.) в областях с круговой и цилиндрической симметрией; являются решениями Бесселя уравнения (См. Бесселя… …   Большая советская энциклопедия

  • Интегральное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»