Sinus

Sinus
Графики нормированной и ненормированной функций sinc (x) в диапазоне −10π ≤ x ≤ 10π

Sinc-функция, обозначаемая \mathrm{sinc}(x)\,, (от лат. sinus cardinalis — кардинальный синус) имеет два определения, соответственно для нормированной sinc-функции и ненормированной sinc-функции:

  1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная sinc-функция обычно определяется как
    \mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.
  2. В математике ненормированная sinc-функция определяется как
    \mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. замечательные пределы). Таким образом, sinc-функция аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная sinc-функция обладает следующими свойствами:

  • Локальные максимум и минимум ненормированной sinc-функции, \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\, совпадают со значениями косинуса, то есть там, где производная \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\, равна нулю (локальный экстремум в точке x = a\,), выполняется условие \begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,.
  • Ненормированная sinc-функция является сферической функцией Бесселя первого рода нулевого порядка, j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,. Нормированная sinc-функция — j_0(\pi x)\,.
  • Ненормированная sinc-функция обращается в ноль при значениях аргумента, кратных \pi\,; нормированная sinc-функция — \mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\, при целых значениях аргумента.
  • Непрерывное преобразование Фурье нормированной sinc-функции \mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\, (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции \mathrm{rect}(f)\,.
\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f),
где прямоугольная функция — функция, принимающая значения, равные 1 для любого аргумента из интервала между −1/2 и 1/2, и равная нулю при любом другом значении аргумента.
  • Разложение по степеням х:

 \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)

 \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}

где Γ(x) — гамма-функция.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Sinus" в других словарях:

  • sinus — 1. (si nus ) s. m. 1°   En géométrie, le sinus d un arc ou d un angle est la perpendiculaire abaissée d une extrémité de l arc sur le diamètre qui passe par l autre extrémité. •   Il est indubitable, et en cela Descartes mérite un coup d… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Sinus — may refer to:In anatomy, where a sinus is a sac or cavity in any organ or tissue: *Sinus (anatomy), description of the general term *Anal sinuses, the furrows which separate the columns in the rectum *Paranasal sinuses, air cavities in the… …   Wikipedia

  • SINUS — Veteribus quod inter brachia ad summum pectus intercipitur, dictum est i vide supra Gremium, unde et recessus littorum, in quos se mare insinuat, Sinus; et Sinum vestium vocavêre, quodcumque partem illam corporis regeret, Tunicae, Togae,… …   Hofmann J. Lexicon universale

  • Sinus — Sm (eine trigonometrische Funktion) per. Wortschatz fach. (19. Jh.) Entlehnung. Entlehnt aus l. sinus Krümmung ; dieses übersetzt arab. ǧaib, das aber in der mathematischen Bedeutung auf ein anderes Wort zurückgeht (ai. jīvā Bogensehne ).… …   Etymologisches Wörterbuch der deutschen sprache

  • Sinus — Si nus, n.; pl. L. {Sinus}, E. {Sinuses}. [L., a bent surface, a curve, the folds or bosom of a garment, etc., a bay. Cf. {Sine}, n.] 1. An opening; a hollow; a bending. [1913 Webster] 2. A bay of the sea; a recess in the shore. [1913 Webster] 3 …   The Collaborative International Dictionary of English

  • Sinus — Si nus, n.; pl. L. {Sinus}, E. {Sinuses}. [L., a bent surface, a curve, the folds or bosom of a garment, etc., a bay. Cf. {Sine}, n.] 1. An opening; a hollow; a bending. [1913 Webster] 2. A bay of the sea; a recess in the shore. [1913 Webster] 3 …   The Collaborative International Dictionary of English

  • sinus — 1590s, abscess, sore, from M.L. sinus, from L. sinus bend, fold, curve. Meaning hollow curve or cavity in the body is attested from 1670s. Sinusitis inflammation of a sinus is recorded from 1896 …   Etymology dictionary

  • Sinus — eines Winkels φ ist in einem rechtwinkligen Dreieck, das den Winkel φ besitzt, das Verhältnis der gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse. Die Sinusfunktion ist die Umkehrung des Integrals Dieselbe hat die Periode 2π, und… …   Lexikon der gesamten Technik

  • sinus — sínus m DEFINICIJA 1. anat. a. polukružna koštana šupljina prevučena sluznicom [paranazalni sinusi; upala sinusa] b. izbočenja ili proširenja šupljih organa c. (mn) vezivni kanali smješteni između dva lista tvrde moždine 2. mat. trigonometrijska… …   Hrvatski jezični portal

  • sinus — m. anat. Seno. Medical Dictionary. 2011 …   Diccionario médico

  • sinus — has the plural form sinuses. In Latin the plural is sinus, not sini …   Modern English usage


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»