- Пределы функции на бесконечности
-
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.
Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.
Содержание
Определения
- Пусть дана функция
,
— предельная точка множества M,
.
- (определение в терминах «ε−δ») Пусть
- (окрестностное определение по Коши) Пусть для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность
точки a такая, что образ этой окрестности
лежит в V(A):
- Фундаментальное обоснование данного определения предела см. в статье Предел вдоль фильтра.
- (определение по Гейне)
- Будем называть
последовательностью Гейне, если
при
.
- Будем называть
- Пусть для любой последовательности Гейне имеем предел последовательности:
при
- (определение в терминах «ε−δ») Пусть
- Тогда A называется пределом функции f при x, стремящемся к a
.
Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.
Обозначения
Если предел функции f при
существует и равен A, пишут
Свойства пределов числовых функций
Пусть даны функции
и
Тогда
- Предел
единственен, то есть
ДоказательствоДоказательство методом от противного. Пусть существует
и
и
. Предположим A1 < A2. Возьмём
, такое что
, т.е.
.
, т.е.
.
, т.е.
.
Тогда получаем
Противоречие. Значит предел единственный.
- Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более общо,
- где
— проколотая окрестность точки a.
- В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
- Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
- Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
- Предел суммы равен сумме пределов:
- Предел разности равен разности пределов:
- Предел произведения равен произведению пределов:
- Предел частного равен частному пределов.
Вариации и обобщения
- Односторонний предел — левый или правый предел в точке.
- Предел вдоль фильтра.
Пределы на бесконечности
Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).
- Определения, аналогичные «ε−δ»
- Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть
и
Число
называется пределом функции f при
(предел в плюс бесконечности), если
- Пишут:
- Аналогично пусть
и
Число
называется пределом функции f при
(предел в минус бесконечности), если
- Пишут:
- Если пределы в
и
существуют и равны, то говорят что функция имеет предел в бесконечности:
- Число
называется пределом функции f при
(предел в бесконечности), если
- Число
- Окрестностное определение
Расширенная числовая прямая
становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности бесконечных точек следующим образом:
- Окрестностью точки
является любой интервал
- Окрестностью точки
является любой интервал
Пределы функции на бесконечностях тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.
- Число A называется пределом функции f при x, стремящемся к плюс бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность
такая, что
- Число A называется пределом функции f при x, стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность
такая, что
- Если отождествить точки
и
, то окрестности бесконечности будут иметь вид, например,
- Число A называется пределом функции f при x, стремящемся к бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность
такая, что
См. также
Ссылки
Литература
- Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
- Пусть дана функция
Wikimedia Foundation. 2010.