- Распределение (дифференциальная геометрия)
-
Распределением на многообразии
называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке
выбрано линейное подпространство
касательного пространства
которое гладко зависит от точки
.
Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.
Содержание
Определение
Пусть
— гладкое
-мермое многообразие и
. Предположим в каждой точке
выбрано
-мерное подпространство
касательного пространства такое, что у любой точки
существует окрестность
и
линейно независимых гладких векторных полей
, причем для любой точки
, векторы
составляют базис подпространства
.
В этом случае, совокупность
всех подпространств
,
, называется
-мерным распределением на многообразии
.
При этом векторные поля
называется локальным базисом распределения
Инволютивные распределения
Распределение
на
называется инволютивным, если в окрестности каждой точки
существует локальный базис распределения
такой, что все скобки Ли векторных полей
принадлежат линейной оболочке
, то есть
являются линейными комбинациями векторов
Условие инволютивности распределения
записывается как
.
Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.
Задание распределения системой 1-форм
На открытом множестве
-мерное распределение
может быть задано системой гладких 1-форм
, определенных в
и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями
. Если
и
— системы 1-форм, определяющие распределение
в
и в
, то в пересечении
форма
, где
— такие гладкие функции, что
в
.
Если
, говорят, что задана глобальная определяющая система форм.
Интегрируемость распределения
-мерное распределение называется интегрируемым, если через каждую точку
проходит
-мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.
Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
В
-мерном случае,
, существуют неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.
Теорема Фробениуса в терминах векторных полей
Теорема:
-мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.
Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.
Теорема Фробениуса в терминах 1-форм
Теорема:
-мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм
, интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал
,
где
— гладкие 1-формы. Если определяющие формы
независимы, это условие эквивалентно системе
.
Интегрируемое распределениеопределяет слоение на многообразии
: его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что
-мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает
-мерное слоение.
Теорема Тёрстона
Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому [1], [2].
Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером[3].
См. также
Примечания
- ↑ W. Thurston, The theory of foliations of codimension greater than one — Comm. Math. Helv., 49 (1974), pp. 214–231.
- ↑ W. Thurston, Existence of codimension one foliations — Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
- ↑ A. Haefliger, Feuilletages sur les variétés ouvertes — Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.
Литература
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.
Категории:- Дифференциальная геометрия и топология
- Слоения
Wikimedia Foundation. 2010.