- БРАУЭРА ГРУППА
поля k - группа классов конечномерных центральных простых алгебр над полем k, относительно эквивалентности, определенной следующим образом. Две центральные простые k-алгебры А к В конечного ранга эквивалентны, если существуют такие целые положительные числа ти п, что тензорные произведения
являются изоморфными k-алгебрами (здесь
алгебра квадратных матриц порядка rнад k).
Тензорное умножение алгебр индуцирует на множестве классов эквивалентных центральных простых конечномерных алгебр структуру абелевой группы, к-рая и наз. Б. г. поля kи обозначается Brk. Нулевым элементом этой группы служит класс полных матричных алгебр, а обратным элементом к классу алгебры А - класс ее инверсной алгебры. Каждый ненулевой класс содержит ровно одну, с точностью до изоморфизма, k-алгебру с делением (т. е. тело над k).
Б. г. была определена и изучалась в серии работ Р. Брауэра (R. Вrauer), Э. Нётер (Е. Noether), A. Алберта (A. Albert), X. Хассе (Н. Hasse) и др. начиная с 20-х гг. 20 в. (см., напр., [6]). Наиболее законченные результаты, вплоть до полного вычисления Б. г., были получены для числовых полей в связи с развитием полей классов теории. В терминах Б. г. формулируется общая форма закона взаимности.
Б. г. равна 0 для любого сепарабельно замкнутого поля и любого конечного поля. Для поля действительных чисел Б. г. есть циклич. группа 2-го порядка и ее ненулевой элемент - класс алгебры кватернионов. Если k - поле р-адических чисел или любое полное дискретно нормированное локально компактное поле, то его Б. г. изоморфна
(здесь Q - аддитивная группа рациональных чисел, Z - аддитивная группа целых чисел). Этот факт занимает важное место в локальной теории полей классов.
Пусть k- поле алгебраич. чисел конечной степени или поле алгебраич. функций от одной переменной с конечным полем констант. Тогда имеет место точная последовательность групп:
где n пробегает всевозможные нормирования поля k,
-соответствующие пополнения поля k, гомоморфизм inv индуцируется естественными вложениями
Образ элемента из
в
наз. локальным инвариантом, гомоморфизм е является суммированием локальных инвариантов. Этот факт устанавливается в глобальной теории полей классов. Если fe- поле алгебраич. функций от одной переменной над алгебраически замкнутым полем констант, то его Б. г. нулевая (теорема Тзена). Случай произвольного поля констант разобран в [4] и [7].
Б. г. функториально зависит от fe, т. е. если К - расширение поля fe, то определен гомоморфизм Вr
. Его ядро, обозначаемое
, состоит из классов алгебр, распадающихся над К.
Конструкции скрещенных произведений с помощью систем факторов (см. [5]) приводят к когомологич. Интерпретации Б. г. Для любого нормального расширения K/k имеет место изоморфизм
где
- группа двумерных когомологий Галуа с коэффициентами в мультипликативной группе
поля К. Более того, группа
изоморфна
, где
- сепарабельное замыкание поля k. Сопоставление центральной простой алгебре ее класса в Б. г. осуществляется при помощи кограничного, оператора
в когомологич. последовательности, соответствующей точной последовательности групп
где
и
- линейная и проективная группы матриц порядка
. Здесь группа
интерпретируется как множество классов с точностью до k-изоморфизма центральных простых алгебр ранга
над полем k, распадающихся над k, или как множество классов k-изоморфных Брауэра - Севери многообразий размерности
, имеющих К- точку.
Б. г. всегда является периодической группой. Порядок любого ее элемента делит число
, где
- ранг тела, представляющего этот элемент.
Когомологич. интерпретация Б. г. позволяет рассматривать ее как группу классов центральных расширений группы Галуа сепарабельного замыкания
при помощи группы
.
Обобщением понятия Б. г. является группа. Брауэра- Гротендика, определяемая аналогично Б. г. с заменой центральных простых алгебр на алгебры Адзумая (см. [7]).
Лит.:[1]Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1960; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; [4] Фаддеев Д. К., "Вестник Ленингр. ун-та", 1957, № 7, в. 2, с. 45-51; [5] Чеботарев Н. Г., Введение в теорию алгебр, М.- Л., 1949; [6] Dеuring М., "Algebren", 2 Aufl., В., 1968, Bd 4; [7] Grothеndieсk A., в кн.: Dix exposes sur la cohomdlogie des schemax, Amst., 1968, p. 46-188. . В. А. Псковских.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.