Функции Стеклова

Функции Стеклова — функции, введённые русским математиком В. А. Стекловым (в публикации 1907 года) для решения задач, связанных с представлением функций в виде рядов по системам собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Пусть $f$ — функция, интегрируемая на отрезке $[a,b]$. Тогда функция $f_h(x) = f_{h,1}(x) = \frac{1}{h} \int\limits_{x-h/2}^{x+h/2} f(t)\,dt = \frac{1}{h} \int\limits_{-h/2}^{h/2} f(x+t)\,dt$ называется функцией Стеклова первого порядка для $f$ с шагом $h>0$. Определенные по индукции функции $f_{h,r}(x) = \frac{1}{h} \int\limits_{x-h/2}^{x+h/2} f_{h,r-1}(t)\,dt, \quad \ r=2,3,\ldots,$ называются функциями Стеклова порядка $r$ для $f$ с шагом $h>0$.

Свойства

• Функция $f_h(x)$ имеет производную

$\frac{d}{dx}f_h(x) = \frac{1}{h} \Bigl(f(x+h/2)-f(x-h/2)\Bigr)$

почти во всех точках отрезка $[a,b]$.

• Если $f$ абсолютно непрерывна на всей вещественной оси, то имеют место оценки:

$\sup\limits_{x\in (-\infty,+\infty)} |f(x)-f_h(x)| \le \omega_f(h/2),$

$\sup\limits_{x\in (-\infty,+\infty)} \Bigl|\frac{d}{dx}f_h(x)\Bigr| \le \frac{1}{h} \omega_f(h),$

где $\omega_f(\cdot)$ — модуль непрерывности функции $f$.

• Если $f\in L^p(-\infty,+\infty),$ то аналогичные неравенства имеют место в норме этого пространства.

Литература

• Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации, — М.: Наука, 1965.
• Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование, — СПб: Изд-во СПбГУ, 1995.

Ссылки

Springer. Encyclopaedia of Mathematics.