СХОДИМОСТЬ


СХОДИМОСТЬ

- одно из основных понятий математич. анализа, означающее, что нек-рый математич. объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности каких-либо элементов, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. цепной дроби, С. интеграла и т. п. Понятие С. возникает, напр., при изучении математич. объектов с помощью приближения их в каком-то смысле более простыми. Так. для вычисления площади круга используется последовательность площадей правильных многоугольников, вписанных в этот круг; для приближенных вычислений интегралов от функций применяются аппроксимации их кусочно линейными функциями или, более общо, сплайнами и т. п. Можно сказать, что математич. анализ начинается с того момента, когда в множестве тех или иных элементов введено понятие С.-

I. Сходимость последовательностей. В одном и том же множестве элементов можно вводить разные понятия С. его элементов в зависимости от изучаемого вопроса. Большую роль использование понятия С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. п.), в частности при нахождении их численных приближенных решений. Например, с помощью последовательных приближений метода можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать при определенных условиях существование решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так в уравнений с частными производными существует теория различных сходящихся разностных методов их численного решения, удобных для их использования на современных вычислительных машинах.
Если в нек-ром множестве X введено понятие С. последовательностей его элементов, т. е. в совокупности всех указанных последовательностей выделен нек-рый класс, каждая последовательность к-рого названа сходящейся, и всякой сходящейся последовательности поставлен в соответствие нек-рый элемент из множества Х, наз. ее пределом, то само множество Хназ. пространством со сходимостью.
Обычно от понятия С. последовательностей требуется, чтобы оно обладало следующими свойствами:

1) каждая последовательность элементов множества Х может иметь не более одного предела;
2) всякая стационарная последовательность {х, х, . . . , х, . . .}, является сходящейся и ее пределом является элемент х;
3) всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также является сходящейся и имеет тот же предел, что и вся последовательность.

При выполнении этих условий пространство Xназ. часто пространством со сходимостью по Фреше. Примером такого пространства является всякое хаусдорфово топологич. пространство, а следовательно, любое метрич. пространство, в частности счетно-нормированное, а потому и просто нормированное (но отнюдь не всякое полунормированное) пространство. Для того чтобы последовательность сходилась в полном метрич. пространстве, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Примером неметризуемого пространства со сходимостью по Фреше является пространство всех действительных функций, определенных на числовой оси для к-рых С. последовательности п=1, 2, . . . , означает ее С. при каждом фиксированном
Если в пространстве со сходимостью по Фреше Xопределить для каждого его подмножества замыкание как совокупность всех точек пространства X, к-рые являются пределом последовательностей точек, принадлежащих множеству А, то пространство Xможет не оказаться топологич. пространством, т. к. не обязательно замыкание замыкания всякого множества Апри данном определении будет совпадать с
Если в одном и том же множестве введены два определения С. и всякая последовательность, сходящаяся в смысле первого определения, сходится и в смысле второго, то говорят, что вторая сходимость сильнее первой. Во всяком пространство со С. Xможно ввести более сильную С. так, что порожденная ей операция замыкания превратит уже X в топологич. пространство, короче говоря, каждое пространство со С. может быть вложено в топологич. пространство, состоящее из тех же точек.
Во всяком топологич. пространстве определено понятие С. последовательностей его точек, но этого понятия недостаточно, вообще говоря, для того чтобы описать замыкание любого множества в этом пространстве, т. е. дать определение точек прикосновения множества, и, следовательно, недостаточно, чтобы полностью описать топологию данного пространства. Чтобы это стало возможно, вводится понятие сходящейся обобщенной последовательности .
Частично упорядоченное множество наз. направленным множеством, если за любыми двумя его элементами имеется следующий за ними. Отображение направленного множества в нек-рое множество Xназ. обобщенной последовательностью или направленностью в X. Обобщенная последовательность в топологич. пространстве Xназ. сходящейся к точке х 0 из X, если для каждой окрестности Uточки х 0 существует такое что для всех выполняется включение В этом случае говорят, что предел обобщенной последовательности существует и равен х 0, при этом пишут
В этих терминах замыкание множества, лежащего в топологич. пространстве X, описывается следующим образом: для того чтобы точка хпринадлежала замыканию множества необходимо и достаточно, чтобы нек-рая обобщенная последовательность точек из Xсходилась к х;а для того чтобы топологич. пространство было хаусдорфовым, необходимо и достаточно, чтобы каждая обобщенная последовательность его точек имела не более одного предела.
В терминах С. обобщенных последовательностей можно сформулировать и критерий непрерывности отображения Fтопологич. пространства Xв топологич. пространство Y: для непрерывности отображения Fв точке необходимо и достаточно, чтобы для каждой обобщенной последовательности такой, что выполнялось бы условие

II. Сходимость числовых последовательностей и рядов.

Простейшим примером, иллюстрирующим понятие С., являются сходящиеся числовые последовательности, т. е. последовательности комплексных чисел {zn}, имеющие конечные пределы, и сходящиеся числовые ряды, т. <е. ряды, последовательности частичных сумм к-рых сходятся. Сходящиеся числовые последовательности и ряды часто применяются для получения различных оценок, а в численных методах - для приближенных вычислений значений функций и различных постоянных. В подобных задачах важно, с какой лскоростью


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "СХОДИМОСТЬ" в других словарях:

  • сходимость — конвергенция; конвергентность. Ant. расходимость, дивергенция Словарь русских синонимов. сходимость сущ., кол во синонимов: 1 • конвергентность (2) …   Словарь синонимов

  • СХОДИМОСТЬ — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел …   Большой Энциклопедический словарь

  • СХОДИМОСТЬ — СХОДИМОСТЬ, в математике свойство бесконечного ряда (или последовательности), имеющего единственный и конечный предел. Так, для ряда 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 +... сумма первых двух членов равна 1,5, первых трех 1,75, первых четырех 1,875; по мере… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… …   Википедия

  • сходимость — 3.6 сходимость (repeatability): Близость результатов двух испытаний, полученных одним методом, в идентичных условиях, водной лаборатории. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Сходимость в Lp — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходимость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах  вид сходимости измеримых функций или случайных величин. Определение Пусть   пространство с… …   Википедия

  • сходимость — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел. * * * СХОДИМОСТЬ СХОДИМОСТЬ, понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел …   Энциклопедический словарь

  • сходимость — glaustis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. convergence vok. Konvergenz, f rus. сходимость, f pranc. convergence, f …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Nepriklausomų tyrimo rezultatų, gautų tomis pačiomis sąlygomis, artumas. atitikmenys: angl. precision vok. Wiederholbarkeit von Messungen, f rus. сходимость, f pranc …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Rezultatų, gautų apibrėžtomis sąlygomis keletą kartų bandant tuo pačiu metodu ir tas pačias medžiagas, atitikimo artumas. atitikmenys: angl. precision vok.… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Книги

Другие книги по запросу «СХОДИМОСТЬ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.