- Флаг (математика)
-
Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства
(или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид
где
Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором
, и следовательно, число
Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже).
Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией).
Содержание
Полный флаг
Полным флагом в векторном пространстве
конечной размерности
называется последовательность подпространств
где подпространство
состоит лишь из нулевого вектора, подпространство
совпадает со всем
, и каждая пара соседних подпространств
является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство
разбивает
, выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).
Каждый базис
векторного пространства
определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим
(здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары
выберем то полупространство, которое содержит вектор
.
Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы
и
на плоскости определяют один и тот же полный флаг). Однако если векторное пространство
является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами.
Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства
существует единственное ортогональное преобразование
, переводящее первый флаг во второй.
Флаги в аффинных пространствах и геометрии Лобачевского
Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности
:
где подпространство
состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского), называемой центром флага, подпространство
совпадает со всем
, и каждая пара
является направленной.
Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной подвижностью пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.[1]
Литература
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Примечания
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. XII, § 1. — М.: Физматлит, 2009.
Категория:- Линейная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.