Отображение Пуанкаре

Отображение Пуанкаре
Отображение Пуанкаре трансверсальной площадки на себя определяется точкой первого возвращения траектории на площадку

В теории динамических систем, разделе математики, отображение Пуанкаре (также отображение последования, отображение первого возвращения) — это проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя (или на другую площадку) вдоль траекторий (фазовых кривых) системы.

Более подробно, отображение Пуанкаре определяется следующим образом. Рассмотрим некоторый участок поверхности в фазовом пространстве (сечение Пуанкаре), трансверсальный к векторному полю системы (то есть не касающийся поля; часто говорят просто трансверсаль). Из точки x на трансверсали выпустим траекторию системы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через y. Отображение Пуанкаре точке x ставит в соответствие точку первого возвращения y. Если траектория, выпущенная из x, никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено.

Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую.

Итерации отображения Пуанкаре с некоторой трансверсали на себя образуют динамическую систему с дискретным временем на фазовом пространстве меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в тесной связи со свойствами исходной системы с непрерывным временем (например, неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы). Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений — с другой. Отображение Пуанкаре является важным инструментом исследования динамических систем с непрерывным временем.

См. также

Отражающая функция

Ссылки

  • А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Отображение Пуанкаре" в других словарях:

  • Пуанкаре, Анри — Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси …   Википедия

  • ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА — о возвращении одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы с инвариантной мерой. Примером такой системы является гамилътонова система, эволюция к рой описывается решениями Гамильтона уравнений канонич. координаты и… …   Физическая энциклопедия

  • ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА ПОСЛЕДНЯЯ — пусть К кольцо на плоскости, ограниченное окружностями с радиусами r=a и r=b, и дано отображение его в себя (q полярный угол) удовлетворяющее условиям: 1) отображение сохраняет площадь, 2) каждая граничная окружность переходит в себя , 3) точки с …   Математическая энциклопедия

  • ПУАНКАРЕ ПРОСТРАНСТВО — 1) П. п. формальной размерности и топологическое пространство X, где задан элемент , что гомоморфизм вида является изоморфизмом для любого k(здесь операция Уитни умножения, высечение). При этом наз. изоморфизмо …   Математическая энциклопедия

  • ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА ТЕОРИЯ — раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамич. систем, относящийся к предельному (при ) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений 1 го порядка: (*) (условия, обеспечивающие существование и… …   Математическая энциклопедия

  • ПОСЛЕДОВАНИЯ ОТОБРАЖЕНИЕ — для гладкого или хотя бы непрерывного потока {St} и трансверсальной к нему гиперповерхности V отображение Т, сопоставляющее точке первую по времени точку пересечения с Vисходящей из vположительной полутраектории потока (и определенное для тех v,… …   Математическая энциклопедия

  • Последняя теорема Пуанкаре — Последняя теорема Пуанкаре  геометрическое утверждение, опубликованное Анри Пуанкаре (без доказательства) незадолго до смерти (1912). Полное доказательство дал спустя полгода Джордж Дэвид Биркхоф. Содержание 1 Формулировка 2 Вариации …   Википедия

  • Конформное отображение —         конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры,… …   Большая советская энциклопедия

  • Конформное отображение — Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis  подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть… …   Википедия

  • Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пуанкаре. В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»