ПОСЛЕДОВАНИЯ ОТОБРАЖЕНИЕ

ПОСЛЕДОВАНИЯ ОТОБРАЖЕНИЕ

для гладкого или хотя бы непрерывного потока {St} и трансверсальной к нему гиперповерхности V - отображение Т, сопоставляющее точке первую по времени точку пересечения с Vисходящей из vположительной полутраектории потока (и определенное для тех v, для к-рых такое пересечение имеется). (Гиперповерхность Vназ. при этом сечением, секущей поверхностью, трансверсалью.) Когда размерность dim V=l (так что {St} - поток на плоскости или двумерной поверхности; в этом случае Vназ. также дугой без контакта) и Vпараметризована числовым параметром s, то смещение точек Vпод действием П. о. описывается нек-рой числовой функцией f одного переменного (если vотвечает значению параметра s, то Tv - значению параметра s+f(s)), к-рая наз. функцией последования. Впервые П. о. использовал А. Пуанкаре (Н. Poincare, [1]), поэтому иногда П. о. наз. отображением Пуанкаре.

Если любая полутраектория пересекает V, то П. о. (определенное в данном случае на всем V).в значительной степени определяет поведение всех траекторий потока. Однако такие "глобальные" сечения существуют далеко не всегда (в частности, у гамильтоновой системы на многообразии постоянной энергии, не проходящем через критич. точки гамильтониана, т. е. равнове сия положения, нет заткнутых - как многообразия - глобальных сечений; см. [3] гл. VIII, п. 4.7).

Для неавтономной системы с периодической правой частью

(*)

возникает аналог П. о.: точке хсопоставляют точку Tx=j(t, х), где j (t, x) - решение системы (*) с начальным значением j(0, х)=х. Это "отображение сдвига на период" можно даже формально рассматривать как П. о., если (*) рассматривать как автономную систему в "цилиндрическом" фазовом пространстве. Отображение Топределено всюду, если решения системы (*) определены при всех t.

Чаще приходится иметь дело с "локальным" сечением - его пересекает только часть траекторий и нередко только часть пересекающих его траекторий вновь возвращается на V. Примером может служить маленькая гладкая "площадка" коразмерности один, трансверсально пересекающая нек-рую замкнутую траекторию L. В этом случае П. о. определено вблизи и характеризует поведение траекторий вблизи L.

В теории слоений также вводится П. о. (см. [2]), являющееся обобщением предыдущего примера (и охватывающее также П. о. для обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области).

Лит.:[1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2] Тамура И., Топология слоений, пер. с япон., М., 1979; [3] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973. Д. В. Аносов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 19771985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "ПОСЛЕДОВАНИЯ ОТОБРАЖЕНИЕ" в других словарях:

  • Отображение Пуанкаре — трансверсальной площадки на себя определяется точкой первого возвращения траектории на площадку В теории динамических систем, разделе математики, отображение Пуанк …   Википедия

  • ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА ТЕОРИЯ — раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамич. систем, относящийся к предельному (при ) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений 1 го порядка: (*) (условия, обеспечивающие существование и… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОРЕНЦА АТТРАКТОР — компактное инвариантное множество Lв трехмерном фазовом пространстве гладкого потока {St}, к рое имеет указанную ниже сложную топологич. структуру и является асимптотически устойчивым (т. е. оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из нек рой… …   Математическая энциклопедия

  • Лад —         (греч. armonia, лат. modulatio, modus, франц. и англ. mode, итал. modo, нем. Tongeschlecht; слав. лад согласие, мир, стройность, порядок). Содержание I. Определение лада 130 II. Этимология 130 III. Сущность лада 130 IV. Интонационная… …   Музыкальная энциклопедия

  • Пример Куперберг — Пример Куперберг  в теории динамических систем  построенный К. Куперберг контрпример к гипотезе Зейферта. Это  пример бесконечно гладкого векторного поля без особых точек и периодических траекторий на трёхмерной сфере. Стоит… …   Википедия

  • ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ — замкнутая траектория в фазовом пространстве автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к рая является a или w предельным множеством (см. Предельное множество траектории) хотя бы для одной другой траектории этой системы. П. ц. наз …   Математическая энциклопедия

  • Надстройка (динамические системы) — У этого термина существуют и другие значения, см. Надстройка. В теории динамических систем, надстройка над диффеоморфизмом многообразия специальным образом построенное векторное поле, динамика которого моделирует динамику итераций . Процедура… …   Википедия

  • ГРИГОРИЙ БОГОСЛОВ — [Назианзин; греч. Γρηγόριος ὁ Θεολόγος, ὁ Ναζιανζηνός] (325 330, поместье Арианз (ныне Сиврихисар, Турция) близ Карвали (ныне Гюзельюрт), к югу от г. Назианза, Каппадокия 389 390, там же), свт. (пам. 25 янв., 30 янв. в Соборе Трех святителей; пам …   Православная энциклопедия

  • ГРИГОРИЙ СИНАИТ — [греч. Γρηγόριος ὁ Σιναΐτης] (ок. 1275, сел. Кукул, близ Клазомен, М. Азия 27.11.1346 (?), Парория, в сев. части совр. хребта Странджа (Истранджа)), прп. (пам. 8 авг., греч. 6 апр.), один из важнейших деятелей исихастского возрождения XIV в.,… …   Православная энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4226/%D0%9F%D0%9E%D0%A1%D0%9B%D0%95%D0%94%D0%9E%D0%92%D0%90%D0%9D%D0%98%D0%AF Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»