Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F})$ и $(Y,\mathcal{G})$ — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция $f: X\to Y$ называется $\mathcal{F} / \mathcal{G}$-измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из $\mathcal{G}$ принадлежит $\mathcal{F}$, то есть

$\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},$

где $f^{-1}(B)$ означает полный прообраз множества $B$.

Замечания

• Если $\,X$ и $\,Y$ — топологические пространства, и алгебры $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
• Смысл данного определения в том, что если на множестве $\,X$ задана мера, то данная функция индуцирует(передает) эту меру и на множество $\,Y$.

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция $f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

• Функция $f$ измерима, если

$\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}$.

• Функция $f$ измерима, если

$\forall a,b\in \mathbb{R}$, таких что $a \le b$, имеем $\{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F}$,

где $|a,b|$ обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения

• Пусть $(X,\mathcal{F}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и $(Y,\mathcal{G}) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ — две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция $f: (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ называется борелевской.
• Измеримая функция $f:(\Omega, \mathcal{F}) \to (Y,\mathcal{G})$, где $\Omega$ — множество элементарных исходов, а $\mathcal{F}$ — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом.

Примеры

• Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
• Пусть $f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),$ и $f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in X$ — индикатор множества $A \not\in \mathcal{F}.$ Тогда функция $f$ не является измеримой.

История

В 1901 году французский математик Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рисс, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
• Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
• Xалмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.