Функция Эрмита

Функция Эрмита

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения

\frac{d^2f}{dz^2} + \left(az^2+bz+c\right)f=0.\quad (1)
График функций Вебера с положительным целым индексом

При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении, получается уравнение:

\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\nu +\frac12-\frac{z^2}{4}\right)f=0,

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются ~D_\nu (z).

Функции ~D_\nu (z), D_\nu (-z), D_{-\nu-1} (iz), D_{-\nu-1} (-iz) являются решениями уравнения Вебера, причем при нецелом ~\nu функции ~D_\nu (z), D_\nu (-z) линейно независимы. Для всех ~\nu функции ~D_\nu (z), D_{-\nu-1} (\pm iz) также линейно независимы.

График функций Эрмита с положительным индексом
График функций Эрмита с отрицательным целым индексом

Однако на практике чаще пользуются другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из ~(1) заменой ~y=e^{-z^2}f(\alpha z+\beta.)

\frac{d^2y}{dz^2} -2y\frac{dy}{dz}+2\nu y=0.\qquad (2)

Функции Эрмита обозначаются ~H_\nu(z). Общее решение уравнения ~(2):

~y(z)=c_1H_\nu(z)+c_2\Phi\left(-\frac{\nu}{2};\frac12;z^2\right),

где ~\Phi\left(\alpha;\beta;z\right) — вырожденная гипергеометрическая функция.

При целом неотрицательном ~\nu функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном ~\nu функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.

Содержание

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Интегральные представления

Асимптотическое поведение

В начале координат

На бесконечности

Литература

  • Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
  • Бейтмен, Эрдейи Вісшие трансцендентніе функции, том 2
H.F. Weber, "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+k^2u=0" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Функция Эрмита" в других словарях:

  • ЭРМИТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное преобразование вида где Н п (х) Эрмита многочлен степени п. Формула обращения имеет вид если ряд сходится. Э. н. сводит операцию калгебраической по формуле Если функция F(x)ограничена вместе со всеми производными до порядка… …   Математическая энциклопедия

  • ЭРМИТА ПРОБЛЕМА — задача об однородных арифметических минимумах положительных n арных квадратичных форм с действительными коэффициентами, равносильная задаче о плотнейших решетчатых упаковках n мерных шаров одинакового радиуса (см. Геометрия чисел). Пусть f=f(x),… …   Математическая энциклопедия

  • Функции Эрмита — Функции параболического цилиндра общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа,… …   Википедия

  • Многочлены Эрмита — Многочлены Эрмита  определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике. Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита. Содержание 1… …   Википедия

  • Сплайн Эрмита — Кубический эрмитов сплайн сплайн, построенный из кубических полиномов с использованием эрмитовой интерполяции, в соответствии с которой интерполируемая функция задается не только своими значениями в n точках, но и ее первыми производными. Для… …   Википедия

  • Полиномиальная функция — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… …   Википедия

  • Функции параболического цилиндра — (функции Вебера) общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение… …   Википедия

  • Ортогональные многочлены — Пафнутий Львович Чебышёв В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов …   Википедия

  • ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ — геометрическая теория чисел, раздел теории чисел, изучающий теоретико числовые проблемы с применением геометрич. методов. Г. ч. в собственном смысле сформировалась с выходом основополагающей монографии Г. Минков ского [1] в 1896. Исходным пунктом …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ — система многочленов {Р n (х)}, удовлетворяющих условию ортогональности причем степень каждого многочлена Р n (х). равна его индексу п, а весовая функция (вес) на интервале ( а, b).или (в случае конечности a и b) на отрезке [a, b]. О. м. наз. о р… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»