ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ

геометрическая теория чисел,- раздел теории чисел, изучающий теоретико-числовые проблемы с применением геометрич. методов. Г. ч. в собственном смысле сформировалась с выходом основополагающей монографии Г. Минков-ского [1] в 1896. Исходным пунктом направления, развившегося в самостоятельный раздел теории чисел, явилось то обстоятельство (подмеченное Г. Минковским), что нек-рые предложения, почти очевидные при рассмотрении фигур в n-мерном евклидовом пространстве, имеют глубокие следствия в теории чисел.

Основной и типичной задачей Г. ч. является задача об арифметич. минимуме нек-рой действительной функции

при этом под понимается точная нижняя граница значений функции , когда хпробегает все целые точки (т. е. точки с целочисленными координатами), удовлетворяющие нек-рому дополнительному условию (напр., условию ).

В важнейших частных случаях эта задача решается теоремой Минковского о выпуклом теле, к-рая может быть сформулирована так: пусть есть n-мерное выпуклое тело объема , причем тогда

Значение m(F).позволяет судить об условиях существования решений диофантова неравенства (см. Диофантовы приближения)

к этому вопросу сводятся многие задачи теории чисел. Особым разделом Г. ч. является геометрия квадратичных форм.

В Г. ч. различают два общих типа проблем, наз. однороднойи неоднородной проблемами.

Однородная проблема, исследования по к-рой составляют большую часть Г. ч., посвящена изуг чению однородных минимумов лучевой функции F в точечной решетке Л. Понятие точечной решетки является основным понятием Г. ч. Пусть - линейно независимые векторы n-мерного евклидова пространства. Множество точек

когда пробегают независимо друг от друга все целые числа, наз. (точечной) решеткой с базисом и определителем

Пусть в заданы лучевая функция и решетка определителя . Точная нижняя граница

значений функции Fв точках решетки наз. минимумом функции Fв решетке (точнее, однородным арифметическим минимумом). Точная нижняя граница , к-рая может и не достигаться, заведомо достигается для ограниченного звездного тела, определяемого неравенством

Для оценки сверху важно уметь вычислять или оценивать постоянную Эрмита лучевой функции , определяемую равенством

где точная верхняя граница берется по множеству всех га-мерных решеток .

Центральным пунктом Г. ч. является установление связи между , критич. определителем (см. ниже) множества и (если F - симметричная выпуклая лучевая функция) плотностью плотнейшей решетчатой упаковки тела .

Пусть в n-мерном евклидовом пространстве заданы множество и решетка Л определителя Решетка наз. допустимой для или -допустимой, если не содержит точек из , отличных от 0. Множество , имеющее хотя бы одну допустимую решетку, наз. множеством конечного типа; в противном случае наз. множеством бесконечного типа. Пусть - множество конечного типа; точная нижняя граница

множества определителей всех -допустимых решеток наз. критическим определителем множества . Всякая -допустимая решетка с условием

наз. критической решеткой множества Для множества бесконечного типа, по определению,

Вычисление постоянной Эрмита лучевой функции сводится к вычислению критич. определителя звездного тела определяемого условием

Связь между критич. определителем и плотностью плотнейшей решетчатой упаковки устанавливается следующей теоремой Блихфельдта. Пусть - произвольное множество, - соответствующее ему разностное множество (т. е. совокупность точек ) и пусть - решетка. Для того чтобы расположение , т. е. семейство множеств , где , было упаковкой, необходимо и достаточно, чтобы решетка была допустимой.

Плотность плотнейшей решетчатой упаковки ограниченного измеримого по Лебегу множества меры выражается равенством

Для произвольного множества и измеримого по Лебегу множества меры , удовлетворяющего условию , справедливо неравенство (другая формулировка теоремы Блихфельдта):

Если - выпуклое тело, симметричное относительно точки О, то

где - плотность плотнейшей решетчатой упаковки тела Так что в случае симметричной выпуклой лучевой функции вычисление сводится к вычислению плотнейшей решетчатой упаковки тела , определяемого условием

Важнейшим предложением Г. ч. является теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть - выпуклое тело, симметричное относительно начала координат и имеющее объем . Тогда

Иными словами, решетка , для к-рой

имеет в точку, отличную от 0.

Неравенство (1) наз. неравенством Минковского; оно дает оценку снизу для критич. определителя выпуклого тела , симметричного относительно 0. Эта оценка, вообще говоря, неулучшаема. Для достижения равенства необходимо и достаточно, чтобы . Выпуклые тела , удовлетворяющие условию , наз. параллелоэдрами. Они играют важную роль в Г. ч. и кристаллографии математической.

Все приложения теоремы Минковского о выпуклом теле основаны на том, что для выпуклой симметричной лучевой функции и произвольной решетки определителя справедливо неравенство

где

В частности, для решетки целых точек и лучевой функции

справедлива теорема Минковского о линейных однородных формах. Пусть ,

- действительные числа,. Если

то найдутся целые числа не равные одновременно нулю и удовлетворяющие системе линейных неравенств

В Г. ч. изучаются последовательные минимумы лучевой функции в решетке. Пусть - лучевая функция, - решетка и пусть зафиксирован индекс i, ; последовательным минимумом функции Fв решетке наз. точная нижняя граница чисел , для к-рых множество содержит не менее г линейно независимых точек решетки . При этом

Справедлива оценка

Труднее оценить сверху величину

Для этого надо уметь вычислять или оценивать сверху величину

где точная верхняя граница берется по всем п-мер-ным решеткам . Величина наз. аномалией лучевой функции F, или аномалией множества . Имеет место неравенство Оценку сверху дает (см. [4], с. 254-57) следующая теорема. Пусть Fесть n-мерная лучевая функция с аномалией ; тогда

Построены примеры, показывающие, что эта оценка, вообще говоря, не улучшаема.

Если F- выпуклая симметричная лучевая функция, то предполагается (гипотеза об аномалии выпуклого тела), что

Справедлива вторая теорема Минковского о выпуклом теле, уточняющая первую теорему. Если - симметричная выпуклая лучевая функция и - решетка, то

где выпуклое тело определяется условием

Понятие последовательных минимумов и основные относящиеся к ним результаты (исключая последнюю теорему) обобщаются со звездных тел на произвольные множества (см. [9], с.44-46).

Следующее предложение оценивает критнч. определитель данного множества сверху: для любого измеримого по Лебегу множества меры

при этом, если - симметричное относительно О звездное тело, то

Все доказательства этой теоремы включают в себя то или иное усреднение нек-рой функции, заданной на пространстве решеток. Наиболее естественный вывод дает (см., напр., [12]) следующая теорема 3игеля о среднем. Пусть - интегрируемая по Лебегу функция, заданная на n-мерном евклидовом пространстве , а - инвариантная мера, заданная на пространстве решеток Л с определителем = 1; - фундаментальная область этого пространства. Тогда

В отличие от оценки снизу (1), оценки (2) и (3) не являются окончательными (уточнение см. [13]).

Оценки крнтнч. определителя данного множества снизу и сверху приводят к оценкам сверху и снизу, т. е. к решению (в известном смысле) однородной задачи Г. ч. Однако часто бывает важно знать и точное значение или точное значение критич. определителя для заданного множества (скажем, для иорменного тела данного алгебраического числового поля). Если - заданное ограниченное звездное тело, то, в принципе, можно указать алгоритм, позволяющий свести задачу отыскания всех критнч. решеток тела (а следовательно, и ) к конечному числу обычных задач на экстремум нек-рых функций нескольких переменных. Однако этот алгоритм осуществим (при современном состоянии исследований) лишь для выпуклых тел при числе измерений (см. [4], с. 185-86, 199-202).

Для неограниченных звездных тел нахождение , вообще говоря, значительно сложнее; это показывает явление изоляции однородных арпф-метич. минимумов, состоящее в следующем. Пусть F- лучевая функция в и пусть на множестве всех решеток задана величина

Множество возможных значений для всех наз. спектром Маркова лучевой функции F. Говорят, что для Fимеет место явление изоляции, если множество имеет изолированные точки. Множество лежит на промежутке . Если звездное тело ограничено, то '

Поэтому явление изоляции возможно лишь для неограниченных звездных тел (см. [4], гл. 10). Наиболее исследован случай п=2

То, что здесь возникает явление изоляции, впервые заметили (см. [14]) А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев (и это был вообще первый пример явления изоляции). А. А. Марковым (1879, см. [14]) доказано, что часть спектра лежащая правее дискретна; она имеет вид

где - возрастающая последовательность целых положительных чисел, обладающих тем свойством, что найдутся целые числа удовлетворяющие условию

каждой точке спектра (5) ("спектр Маркова" в узком смысле) отвечает единственная, с точностью до автоморфизмов (4), решетка . Неопределенная форма иногда наз. формойМаркова, а последовательность наз. цепочкой Маркова. Известно также, что левее нек-рого числа спектр совпадает с отрезком . Явление изоляции можно описать в терминах допустимых решеток (см. [9], с. 50), что несколько обобщает это понятие.

Неоднородная проблема охватывает неоднородные диофантовы задачи, играющие большую роль в теории чисел, она составляет важный раздел Г. ч.

Пусть - лучевая функция в , - решетка определителя в и - действительная точка в . Рассматриваются величины

где точная нижняя граница берётся по всем точкам вида , а точная верхняя граница берется по всем точкам . Величина наз. неоднородным арифметическим минимуме м функции Fв решетке ; при этом "минимум" может и не достигаться. есть точная нижняя граница действительных чисел , обладающих следующим свойством: расположение множества где удовлетворяет условию , по решетке является покрытием, т. е.

Для лучевой функции Fрассматриваются аналоги постоянной Эрмита:

где точная нижняя (верхняя) граница берется по всем n-мерным решеткам . Величина обычно тривиальна (см. [4], с. 369-70): если множество , имеет конечный объем, то

Однако в одном, представляющем интерес, частном случае функции , с величиной связана неоднородная проблема Минковского.

Гипотеза Мпнковского о произведении неоднородных линейных форм. Пусть

Тогда

Исследования по этой гипотезе и ее аналогам составляют более половины всех исследований по неоднородной проблеме Г. ч. (см. Минковского гипотеза).

В общем случае величина носит характер более содержательный, чем . Она тесно связана со значением плотности экономнейшего решетчатого покрытия телом (см. [7], [10]). Именно, если F - лучевая функция и множество ограничено, то

Важный раздел неоднородной проблематики Г. ч. составляют так наз. теоремы переноса для данной лучевой функции F, под к-рыми понимаются неравенства, связываюяре неоднородный минимум с последовательными однородными минимумами (или минимумами взаимной функции относительно взаимной решетки , и т. п.) (см. [4], с. 380-90).

Пример: пусть F - симметричная выпуклая лучевая функция и пусть для ; тогда для любой решетки

Имеются обобщения Г. ч. на пространства, более общие, чем Rⁿ, а также на дискретные множества, более общие, чем Л (см. [15], [10]).

Лит.:[1] Мinkоwski H., Geometric der Zahlen, Lpz.- В., 1953; [2] его же, Diophantische Approximationen, Lpz., 1907; [3] Hancock H., Development of the Minkowski geometry of numbers, N. Y., 1939; [4] Касселс Д ж. В. С., Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1965; [5]

Lеkkerkerker С. G., Geometry of numbers, Groningen, 1969; [6] Тот Л. Ф., Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, пер. с нем., М., 1958: [7] Роджерс К., Укладки и покрытия, пер. с англ., М., 1968; [8] Кеllеr О.-Н., Geometrie der Zahlen, Lpz., 1954; [9] Hlawka E., "Jahresber. Dtsch. Math,- Ver.", 1954, Bd 57, Abt. 1, S. 37-55; [10] Барaневский Е. П., в кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967, М., 1969, с. 189-225; [11] Koksma J. F., Diophantische Approximationen, В., 1936; [12] Macbeath A. М., Rogers G. A,. "Proc. Cambridge Philos. Soc.", 1958, v. 54, pt. 2, p. 139-51; [13] Sсhinidt W., "III. J. Math.", 1963, v. 7, № 1, p. 18-23; № 4, p. 714; [14] Марков А, А., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 5, с. 7-51; [15] Rogers K., Swinnerton-Dyer H. P. F., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1958, v. 88, № 1, p. 227-42. А. В. Малышев.