Формула Шварца — Кристоффеля

Формула Шварца — Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга Δ или верхней полуплоскости {\mathbb H}^+) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.

Теорема

Предположим, что P\subset\mathbb C — некоторый n-угольник, а функция f осуществляет конформное отображение {\mathbb H}^+ на P. Тогда f можно представить в виде

f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^n(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2,

где a_1,\dots,a_n — прообразы вершин P на вещественной оси, \alpha_1,\dots,\alpha_n — радианные меры соответствующих внутренних углов, а C1 и C2 — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если n-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^{n-1}(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки a_1,\dots,a_n, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Формула Шварца — Кристоффеля" в других словарях:

  • КРИСТОФФЕЛЯ - ШВАРЦА ФОРМУЛА — формула дающая интегральное представление функции f(z), конформно отображающей верхнюю полуплоскость на внутренность ограниченного многоугольника с вершинами и углами при вершинах < . При этом некоторые постоянные, Постоянную z0 можно… …   Математическая энциклопедия

  • Отображение Шварца — Кристоффеля — Теорема Шварца  Кристоффеля  важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном… …   Википедия

  • Отображение Шварца — Теорема Шварца  Кристоффеля  важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном… …   Википедия

  • Теорема Шварца — Кристоффеля — Теорема Шварца  Кристоффеля  важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении… …   Википедия

  • Интеграл Шварца — Кристоффеля — Теорема Шварца  Кристоффеля  важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении… …   Википедия

  • Шварц, Карл Герман Амандус — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Шварц. Карл Герман Амандус Шварц нем. Karl Hermann Amandus Schwarz …   Википедия

  • КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — взаимно однозначное отображение областей n мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми. К. о. в каждой точке обладает свойством постоянства растяжений по разл. направлениям. При n= З любое (гладкое) К. о. является суперпозицией …   Физическая энциклопедия

  • ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ — комплексного переменногог регулярная однолистная функция в единичном круге , отображающая единичный круг на нек рую выпуклую область. Регулярная однолистная функция является В. ф. тогда и только тогда, когда при обходе любой окружности… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»