- Отображение Шварца
-
Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.
Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга
или верхней полуплоскости
) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.
Теорема
Предположим, что
— некоторый
-угольник, а функция
осуществляет конформное отображение
на
. Тогда
можно представить в виде
,
где
— прообразы вершин
на вещественной оси,
— радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на
(то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а
и
— так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.
В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если
-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид
,
то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.
Трудность использования этих формул состоит в том, что точки
, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категория:- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.