- Отображение Шварца
-
Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.
Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга или верхней полуплоскости ) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.
Теорема
Предположим, что — некоторый -угольник, а функция осуществляет конформное отображение на . Тогда можно представить в виде
- ,
где — прообразы вершин на вещественной оси, — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а и — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.
В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид
- ,
то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.
Трудность использования этих формул состоит в том, что точки , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категория:- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.