Левосторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть задана числовая функция $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ и $a\in M'$ — предельная точка области определения M.

• Число $A\in \mathbb{R}$ называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

  $\forall \varepsilon>0\; \exists \delta>0\; \forall x\in (a,a+\delta)\cap M \quad |f(x) - A| < \varepsilon;$

• Число $A\in \mathbb{R}$ называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

  $\forall \varepsilon>0\; \exists \delta>0\; \forall x\in (a-\delta,a)\cap M \quad |f(x) - A| < \varepsilon;$

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

  $\lim\limits_{x\to a+}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a+0}f(x),\ \ \lim_{x \downarrow 0} f(x),\ \ \lim_{x \searrow 0} f(x);$

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

  $\lim\limits_{x\to a-}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a-0}f(x),\ \ \lim_{x \uparrow 0} f(x),\ \ \lim_{x \nearrow 0} f(x).$

• При этом используются также сокращённые обозначения:

  $f(a+)=\lim\limits_{x\to a+}f(x),\ \ f(a-)=\lim\limits_{x\to a-}f(x).$

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $a \in M'.$ Тогда системы множеств

$\mathfrak{B}_+ = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}$

и

$\mathfrak{B}_- = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}$

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

$\lim\limits_{\mathfrak{B}_+} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a+}f(x);$

$\lim\limits_{\mathfrak{B}_-} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a-}f(x).$

Свойства

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры

Функция из Примера 1.

1. Пусть $M = \mathbb{R}\setminus \{3\},$ и

   $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2, & x< 3 \\ 11-(x-3)^2,& x>3\end{matrix}\right.,\; x\in M.$

   Тогда (см. рис.)

   $\lim_{x\to 3-} f(x) = 9;$

   $\lim_{x\to 3+} f(x) = 11.$
   Поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 3 различны, то предела данной функции в 3 не существует.

2. Пусть $M = \mathbb{R} \setminus \{0\},$ и $f(x) = \frac{x}{|x|},\; x\in M.$ Тогда

   $\lim_{x \to 0-}f(x) = -1;$

   $\lim_{x \to 0+}f(x) = 1.$

   Опять, поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 0 различны, то предела данной функции в 0 не существует.

См. также

• Предел функции