РЕТРАКТ

РЕТРАКТ

т о п о л о г и ч е с к о г о п р о с т р а нс т в а X - подпространство Аэтого пространства, для к-рого существует ретракция X на А. Если пространство X хаусдорфово, то всякий Р. пространства Xзамкнут в X. Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его Р. При переходе от пространства к его Р. сохраняются многие важные свойства. В частности, всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к Р. Поэтому компактность, связность, линейная связность, сепарабельность, ограничение сверху на размерность, паракомпактность, нормальность, локальная компактность, локальная связность сохраняются при переходе к Р. В то же время Р. пространства может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования. Так, одноточечное множество является Р. отрезка, прямой, плоскости и т. д. Если пространство X имеет с в о й с т в о н е п од в и ж н о й т о ч к и, т. е. для каждого непрерывного отображения существует точка такая, что f(x)=x, то и каждый Р. пространства Xобладает свойством неподвижной точки. В частности, n-мерная сфера не является Р. (n+1)-мерного шара евклидова пространства, где п=0,1, ... , так как замкнутый шар обладает свойством неподвижной точки (т е о р е м а Б р а у э р а), а сфера этого свойства не имеет. Подпространство Апространства Xназ. о к р е с т н о с т н ы м Р. этого пространства, если существует в Xоткрытое подпространство, содержащее А, ретрактом к-рого А является. Понятие Р. имеет прямое отношение к вопросу о продолжаемости непрерывных отображений. Так, подпространство Апространства Xявляется его Р. в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства Ав произвольное топологич. пространство Yможно продолжить до непрерывного отображения всего пространства Xв Y.

Метризуемое пространство Xназ. а б с о л ю т н ы м Р. (а б с о л ю т н ы м о к р е с т н о с т н ы м Р.), если оно является Р. (соответственно окрестностным Р.) всякого метризуемого пространства, содержащего Xв качестве замкнутого подпространства. Для того чтобы метризуемое пространство Xбыло абсолютным Р., необходимо, чтобы оно было Р. нек-рого выпуклого подпространства линейного нормированного пространства, и достаточно, чтобы Xбыло Р. выпуклого подпространства локально выпуклого линейного пространства.

Таким образом, все выпуклые подпространства локально выпуклых линейных пространств являются абсолютными Р.; в частности, таковы точка, отрезок, шар, прямая и т. д. Из приведенной характеристики вытекают следующие свойства абсолютных Р. Всякий Р. абсолютного Р. снова есть абсолютный Р. Каждый абсолютный Р. стягиваем по себе и локально стягиваем. Все гомологические, когомологические, гомотопические и когомотопич. группы абсолютного Р. тривиальны. Метризуемое пространство Yявляется абсолютным Р. в том и только в том случае, если, каковы бы ни были метризуемое пространство X, его замкнутое подпространство Аи непрерывное отображение пространства Ав Y, его можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства Xв Y. Абсолютные окрестностные Р. характеризуются как Р. открытых подмножеств выпуклых подпространств линейных нормированных пространств. К их числу относятся все компактные полиэдры. Существенным их свойством является локальная стягиваемость.

Если ретракция пространства Xна его подпространство Агомотопна тождественному отображению пространства Xна себя, то Аназ. д е ф о р м а ц и о н н ы м Р. пространства X. Деформационный Р. пространства гомотопически эквивалентен этому пространству, т. е. имеет с ним один и тот же гомотопич. тип. Обратно, два гомотопически эквивалентных пространства всегда можно вложить в нек-рое третье пространство таким образом, что оба они будут его деформационными Р.

Лит.:[1] Б о р с у к К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971. А. В. Архангельский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "РЕТРАКТ" в других словарях:

  • Ретракт — топологического пространства   подпространство этого пространства, для которого существует ретракция на ; то есть непрерывное отображение , тождественное на (то есть такое, что при всех …   Википедия

  • РЕТРАКТ — о б ъ е к т а к а т е г о р и и понятие, обобщающее соответствующие понятия алгебры и топологии. Объект Rкатегории наз. р е т р а к т о м объекта А, если существуют такие морфизмы что . Морфизм m при этом оказывается мономорфизмом и, более того,… …   Математическая энциклопедия

  • Ретракт — в средневековой Европе право родственников на выкуп семейного имущества в течение одного года и одного дня после его продажи …   Словарь терминов (глоссарий) по истории государства и права зарубежных стран

  • Окрестностный ретракт — Ретракт топологического пространства X  подпространство A этого пространства, для которого существует ретракция X на A; то есть непрерывное отображение , тождественное на A (то есть такое, что f(x) = x при всех ). Ретракт топологического… …   Википедия

  • Абсолютный ретракт — метризуемое пространство которое является ретрактом всякого метризуемого пространства, содержащего в качестве замкнутого подпространства. Связанные определения Метризуемое пространство называется абсолютным окрестностным ретрактом, если оно… …   Википедия

  • Деформационный ретракт — топологического пространства подмножество , обладающее тем свойством, что существует гомотопия тождественного отображения пространства в некоторое отображение , при которой все точки множества остаются неподвижными. Если при гомотопии точки из… …   Википедия

  • ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РЕТРАКТ — топологического пространства X подмножество обладающее тем свойством, что существует гомотопия тождественного отображения пространства Xв нек рое отображение при к рой все тояки множества Аостаются неподвижными. Если при гомотопии точки из… …   Математическая энциклопедия

  • Фундаментальная группа — Фундаментальная группа  определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать… …   Википедия

  • ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ — топологических пространств часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств… …   Математическая энциклопедия

  • ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП — класс гомотопически эквивалентных топологич. пространств. Отображения и наз. взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями, если и Если выполнено только первое из этих соотношений, то gназ. гомотопически мономорфным отображением, а f… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»