- ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ
топологических пространств - часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств - гомоморфизмы соответствующих групп, Г. т. по свойствам групп и их гомоморфизмов позволяет судить о свойствах пространств и отображений. К таким свойствам относятся, напр., связности различных размерностей, для исследования к-рых Г. т. опирается на понятие ограничивают, в отличие от другой части алгебраич. топологии - теории гомотопии, к-рая для той же цели применяет деформации. Г. т. зародилась в конце 19 в. в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincare) (см. Гомологии полиэдра), но аксиоматич. построение (а вместе с ним и точные границы этого долгое время расплывчатого понятия) Г. т. получила лишь в работах Н. Стинрода и С. Эйленберга (см. [3], а также Алгебраическая топология, Гомологии группа, Стинрода- Эйленберга аксиомы). По этому построению теория гомологии
есть совокупность трех функций: 1) относительной r-мерной группы гомологии
пары топологич. пространств
к-рая каждой паре
и каждому целому числу r ставит в соответствие абелеву группу
; 2) гомоморфизма
к-рый ставится в соответствие непрерывному отображению
и числу rи yаз. гомоморфизмом, индуцированным отображением f; 3) граничного оператора
, к-рый каждой паре
и каждому rставит в соответствие гомоморфизм
группы
в группу
(так наз. абсолютную группу пространства А, являющуюся группой пары
). При этом указанные функции должны удовлетворять следующим аксиомам.
наз. гомологической последовательностью, пары
, является точной последовательностью, т. е. везде образ входящего гомоморфизма совпадает с ядром исходящего.
5. Аксиома гомотопии. Если отображения
гомотопны, то
.
6. Аксиома вырезания. Если U - открытое подмножество пространства Xи его замыкание содержится во внутренности подпространства А, то отображение вложения
индуцирует изоморфизм
.
7. Аксиома размерности. Если X- одноточечное пространство, то
для всех
.
Вместо категории всех пар пространств за область определения функции Hr можно взять произвольную категорию пар пространств, напр, категорию пар компактных пространств пли категорию пар, состоящих из полиэдров и их подполиэдров. Однако требуется, чтобы такая категория вместе с
содержала пары
,
,
, цилиндр
и какое-либо одноточечное пространство Р 0, со всеми их отображениями вложения. Кроме того, требуется, чтобы категория содержала все пары и отображения, к-рые встречаются в аксиомах или теоремах. С другой стороны, за область значений функции
вместо категории всех абелевых групп можно принимать и другие категории, напр, категорию топологических, в частности, компактных групп с непрерывными гомоморфизмами или категорию модулей над нек-рым кольцом с линейными гомоморфизмами. Аксиомы 1 и 2 означают, что
есть ковариантный функтор из нек-рой категории пар пространств в категорию групп. Аксиома 3 означает, что граничный оператор
согласован с функтором
. Аксиома 4, связывающая функторы всех размерностей r, иногда заменяется более слабым требованием: чтобы последовательность была лишь полуточной, т. е. образ входил в ядро (см. Точная последовательность);важным примером частично полуточной теории гомологии является теория гомологии Александрова - Чеха. Аксиома 5 имеет эквивалентную форму: если
- отображения, определяемые формулами
Аксиома 6, требующая инвариантность при вырезании и имеющая несколько разновидностей, указывает то свойство Г. т., к-рое отличает ее от теории гомотошш. Аксиома 7, обеспечивающая гео-метрич. значимость размерностного индекса r, в современных исследованиях часто пренебрегается, что порождает так наз. обобщенные теории гомологии, важным примером к-рых служит теория бордизмов.
Для Г. т. существует двойственная ей теория когомологии (см. Двойственность в топологии). Она задается: относительной r-мерной группой когомологии
являющейся контравариантным функтором из категории пар топологич. пространств в категорию абелевых групп с индуцированным гомоморфизмом
и кограничным оператором
Аксиомы формулируются так же, как и в случае гомологии, с очевидным изменением в направлении гомоморфизмов, происходящим от контравариантности; напр., аксиома точности требует, чтобы была точной когомологическая последовательность
Здесь возникают также обобщенные когомологич. теории, важными примерами к-рых служат К-теории и кобордизмы. Приводимые ниже факты Г. т. имеют когомологич. параллели.
Группой коэффициентов Г. т. или теории когомологии наз. группа
или соответственно
. Группы
иногда удобно заменять так наз. приведенными группами
: приведенная нульмерная группа гомологии
есть ядро гомоморфизма
индуцированного отображением
, а приведенная нульмерная группа когомологии
есть факторгруппа группы
по образу
; приведенные группы других размерностей совпадают с исходными:
Так,
Если
при всех r. Замена обычных групп приведенными позволяет получить из гомологич. последовательности приведенную гомологическую последовательность. Аксиомы Г. т. не являются независимыми. Так, аксиома 1 есть следствие аксиом 2, 3, 4. Система аксиом совместна, как показывает пример тривиальной теории
; вложения нетривиальными примерами являются когомологич. теория Александрова - Чеха, сингулярные гомологии и др. В вопросе полноты имеет место следующее: гомоморфизмом Г. т.
в Г. т.
наз. такая система гомоморфизмов
что
и
если все
- изоморфизмы, то Г. т.
и
наз. изоморфными Г. т. На конечных полиэдрах Г. т. является единственной. Точнее, если
- произвольный гомоморфизм группы коэффициентов
теории
в группу коэффициентов
теории
, то для каждой полиэдральной пары
существует единственный гомоморфизм
обладающий тем свойством, что
причем, если
- изоморфизм, то изоморфизмами являются и все
. Так как группы гомологии отрицательной размерности триангулируемой пары тривиальны, то для таких пар равенство
,
, имеет место и при любой Г. т.
. Теорема единственности справедлива и для более широких категорий пространств в случае, когда Г. т. удовлетворяет соответствующим дополнительным аксиомам.
Группы гомологип являются топологическими, а также гомотопич. инвариантами: если
есть гомотопич. эквивалентность, то
есть изоморфизм. Если X- стягиваемое пространство, в частности, клетка, то
Если
есть гомотопич. эквивалентность, то
и, при любом
Если А - ретракт пространства X, то
есть мономорфизм,
- эпиморфизм, оператор
тривиален и
Если Xдеформируемо в А, то
есть эпиморфизм,
тривиален,
есть мономорфизм и
Пусть через S(X).обозначена надстройка над X;имеет место изоморфизм
Это дает возможность вычислить группы гомологии сфер
; именно:
при
и
следовательно,
при
при
или
и
Важную роль в Г. т. играют гомологические последовательности троек и триад. Для тройки
пространств граничный оператор
определяется как композиция
, где
есть вложение. Тогда возникает так наз. гомологическая последовательность тройки
(сводящаяся при
к гомологич. последовательности пары (X, А).
где
и
- вложения. Эта последовательность точна. Если группы
тривиальны для всех
, то
являются соответственно изоморфизмами, и наоборот. Если Xесть объединение непересекающихся замкнутых множеств
где
изоморфна прямой сумме групп
Триада
есть пространство Xс упорядоченной парой А, В подпространств. Она является собственной триадой, если вложения
индуцируют изоморфизмы или имеется разложение
Далее, для
них определяется граничный оператор
как
где
Это порождает точную гомологическую последовательность триады
вложения [при
эта последовательность сводится к гомологич. последовательности тройки
]. Пусть
и пусть для отображений
имеют место соотношения
Тогда справедливы
следующие аддиционные теоремы.
2. Если Dстягиваемо и
определены соответственно посредством
то для индуцированных гомоморфизмов приведенных групп
имеет место равенство
Пусть определен гомоморфизм
где
и где
- вложения, и гомоморфизм
где
и
- вложения. Пусть, наконец, определен гомоморфизм
где
и
- вложения.
Тогда получается так наз. последовательность Мейера- Вьеториса собственной триады:
к-рая является точной и к-рая связывает гомологии пространств с гомологиями их объединения и пересечения. Отсюда, в случае
, можно перейти к аналогичной последовательности для приведенных групп. Из нее следует:
1. Если
стягиваемо, то
2. Если
стягиваемо, то
3. Если Л и В стягиваемы, то Л устанавливает изоморфизм
Использование предыдущих результатов позволяет вычислить группы гомологии различных пространств. Напр., если X - замкнутая ориентируемая поверхность рода п, то
изоморфна группе коэффициентов Gпри r=0,2, прямой сумме
экземпляров группы Gпри r=1 и 0-в остальных случаях. Если X - замкнутая неорпентнруемая поверхность рода п, то
изоморфна Gпри r=0, группе
, где
есть факторгруппа
, при r=1, подгруппе
группы G, состоящей из всех элементов
с 2g=0 при r=2 и 0-в остальных случаях. Таким образом, Г. т. дает топологич. классификацию замкнутых поверхностей. Для n-мерного действительного проективного пространства
группа
изоморфна группе Gпри r=0 или r=п и нечетном, группе
при rнечетном и
, группе
при rчетном и
и 0 - в остальных случаях. Группа гомологии
комплексного проективного пространства
размерности 2п изоморфна группе G при r четном и
и 0 - в остальных случаях. Гомологич. группа
линзового пространства
. изоморфна группе Gпри r=0,3, группе
, где
при r=1, группе , где
=
при r=2 и 0- в остальных
случаях.
Из разнообразных приложений предыдущих результатов следует выделить нек-рые фундаментальные предложения. Прежде всего - инвариантность размерности: сферы, а также евклидовы пространства различных размерностей не гомеоморфны; более того, если два полиэдра гомеоморфны, то они имеют одинаковую размерность. Далее, из равенства
где
есть распространение данного отображения
получаются различные признаки распространяемости и ретрагируемости отображений; напр., отображение ненулевой степени сферы
в себя не распро-странимо на re-мерный шар
границей к-рого является
, а сфера
не является ретрактом шара
ни для какого натурального га. Из этого, в свою очередь, следует теорема Брауэра о неподвижной точке: любое отображение
имеет неподвижную точку. Наконец, доказывается, что на Sn существует единичное касательное векторное поле тогда п только тогда, когда пнечетно, а из теории триад получается ряд теорем о степенях отображений, что, в частности, позволяет по-новому доказать основную теорему алгебры.
Лит.:[1] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; [2] Лефшец С., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1949; [3] Стинрод Н., Эйлен6ерг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [4] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [5] Hu Sze-Tsen, Homology Theory; 3 ed., N.- L., 1965; [6] Hu Sz.-Tz., Cohomology Theory, L., 1970; [7] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976. Г. С. Чогошвили.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.