НОРМА

- 1) Отображение векторного пространства Xнад полем действительных или комплексных чисел в совокупность действительных чисел, подчиненное условиям:

причем только при x = 0;

для каждого скаляра ;

для всех (аксиома треугольника). При этом число и наз. нормой элемента х.

Векторное пространство Xс отмеченной Н. наз. нормированным пространством. Н. индуцирует на X метрику но формуле а следовательно и топологию, совместимую с этой метрикой. Тем самым нормированное пространство наделяется естественной структурой топологического векторного пространства. Нормированное пространство, полное относительно указанной метрики, наз. банаховым пространством. Каждое нормированное пространство обладает банаховым пополнением.

Отделимое (хаусдорфово) топологическое векторное пространство наз. нормируемым, если его топология совместима с нек-рой Н. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля (теорема Колмогорова, 1934). Н. в нормированном векторном пространстве Xтогда и только тогда порождается скалярным произведением (т. е. пространство Xизометрически изоморфно предгильбертову пространству), когда для всех

Две Н. и заданные на одном и том же векторном пространстве X, наз. эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию. Это равносильно существованию таких констант и , что для всех

Если пространство Xполно относительно обеих Н., то их эквивалентность является следствием согласованности. При этом согласованность означает, что выполнение предельных соотношений

влечет за собой равенство .

Не на каждом топологическом векторном пространстве, даже в предположении локальной выпуклости, существует непрерывная Н. Напр., непрерывной Н. нет на бесконечном произведении прямых с топологией покоординатной сходимости. Отсутствие непрерывной Н. может служить очевидным препятствием к непрерывному погружению одних топологич. пространств в другие.

Если Y- замкнутое подпространство в нормированном пространстве X, то факторпространство классов смежности по Y наделяется Н.

относительно к-рой оно становится нормированным пространством. Н. образа элемента хотносительно естественной проекции наз. факторнормой элемента x по подпространству Y.

Совокупность непрерывных линейных функционалов на нормированном пространстве Xобразует банахово пространство относительно Н.

Н. всех функционалов достигаются в подходящих точках единичного шара исходного пространства тогда и только тогда, когда пространство рефлексивно.

Совокупность линейных непрерывных (ограниченных) операторов Аиз нормированного пространства Xв нормированное пространство Y превращается в нормированное пространство путем введения операторной нормы:

Относительно этой Н. пространство полно, если полно У. При полном пространство с умножением (суперпозицией) операторов становится банаховой алгеброй, поскольку операторная Н. удовлетворяет условию

где I - тождественный оператор (единица алгебры). Интересны и другие эквивалентные Н. на L(X), подчиненные тому же условию. Такие Н. наз. алгебраическим и, или кольцевыми. Алгебраич. Н. можно получить, эквивалентно перенормируя Xи беря соответствующую операторную Н., однако даже при dim X = 2 на этом пути получаются не все алгебраич. Н. на L(X).

Преднормой, или полунормой, на векторном пространстве Xназ. отображение рсо свойствами Н., кроме свойства невырожденности: равенство не исключает . Если , то ненулевая преднорма рна L(X), подчиненная условию фактически оказывается Н. (т. к. в этом случае L(X)не имеет нетривиальных двусторонних идеалов). С другой стороны, для бесконечномерных нормированных пространств это уже не так. Если X- банахова алгебра над , то спектральный радиус

является полунормой тогда и только тогда, когда он равномерно непрерывен на X, и это условие равносильно коммутативности факторалгебры по радикалу.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [3] Шилов Г. Е., Математический анализ. (Специальный курс), 2 изд., М., 1961; [4] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [5] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; [б] Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [7] Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный линейный анализ в задачах, М., 1969; [8] Aupetit В., Рrоfirietes Spectrales desAlgebres de Banach, В.-Hdlb.- N. Y., 1979; [9] Кириллов А. А., Гвишиани А. Д., Теоремы и задачи функционального анализа, М., 1979.

Е. А. Горин.

2)Н.- то же, что абсолютное значение на теле или кольце (см. также Нормирование).

3) Н. группы - совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, т. е. пересечение нормализаторов всех подгрупп. Н. содержит центр группы и содержится во втором гиперцентре Z₂. Для группы без центра Н. равна единичной подгруппе Е.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.

О. А. Иванова.