НОРМА


НОРМА

- 1) Отображение векторного пространства Xнад полем действительных или комплексных чисел в совокупность действительных чисел, подчиненное условиям:

причем только при x = 0;

для каждого скаляра ;

для всех (аксиома треугольника). При этом число и наз. нормой элемента х.

Векторное пространство Xс отмеченной Н. наз. нормированным пространством. Н. индуцирует на X метрику но формуле а следовательно и топологию, совместимую с этой метрикой. Тем самым нормированное пространство наделяется естественной структурой топологического векторного пространства. Нормированное пространство, полное относительно указанной метрики, наз. банаховым пространством. Каждое нормированное пространство обладает банаховым пополнением.

Отделимое (хаусдорфово) топологическое векторное пространство наз. нормируемым, если его топология совместима с нек-рой Н. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля (теорема Колмогорова, 1934). Н. в нормированном векторном пространстве Xтогда и только тогда порождается скалярным произведением (т. е. пространство Xизометрически изоморфно предгильбертову пространству), когда для всех

Две Н. и заданные на одном и том же векторном пространстве X, наз. эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию. Это равносильно существованию таких констант и , что для всех

Если пространство Xполно относительно обеих Н., то их эквивалентность является следствием согласованности. При этом согласованность означает, что выполнение предельных соотношений

влечет за собой равенство .

Не на каждом топологическом векторном пространстве, даже в предположении локальной выпуклости, существует непрерывная Н. Напр., непрерывной Н. нет на бесконечном произведении прямых с топологией покоординатной сходимости. Отсутствие непрерывной Н. может служить очевидным препятствием к непрерывному погружению одних топологич. пространств в другие.

Если Y- замкнутое подпространство в нормированном пространстве X, то факторпространство классов смежности по Y наделяется Н.

относительно к-рой оно становится нормированным пространством. Н. образа элемента хотносительно естественной проекции наз. факторнормой элемента x по подпространству Y.

Совокупность непрерывных линейных функционалов на нормированном пространстве Xобразует банахово пространство относительно Н.

Н. всех функционалов достигаются в подходящих точках единичного шара исходного пространства тогда и только тогда, когда пространство рефлексивно.

Совокупность линейных непрерывных (ограниченных) операторов Аиз нормированного пространства Xв нормированное пространство Y превращается в нормированное пространство путем введения операторной нормы:

Относительно этой Н. пространство полно, если полно У. При полном пространство с умножением (суперпозицией) операторов становится банаховой алгеброй, поскольку операторная Н. удовлетворяет условию

где I - тождественный оператор (единица алгебры). Интересны и другие эквивалентные Н. на L(X), подчиненные тому же условию. Такие Н. наз. алгебраическим и, или кольцевыми. Алгебраич. Н. можно получить, эквивалентно перенормируя Xи беря соответствующую операторную Н., однако даже при dim X = 2 на этом пути получаются не все алгебраич. Н. на L(X).

Преднормой, или полунормой, на векторном пространстве Xназ. отображение рсо свойствами Н., кроме свойства невырожденности: равенство не исключает . Если , то ненулевая преднорма рна L(X), подчиненная условию фактически оказывается Н. (т. к. в этом случае L(X)не имеет нетривиальных двусторонних идеалов). С другой стороны, для бесконечномерных нормированных пространств это уже не так. Если X- банахова алгебра над , то спектральный радиус

является полунормой тогда и только тогда, когда он равномерно непрерывен на X, и это условие равносильно коммутативности факторалгебры по радикалу.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [3] Шилов Г. Е., Математический анализ. (Специальный курс), 2 изд., М., 1961; [4] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [5] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; [б] Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [7] Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный линейный анализ в задачах, М., 1969; [8] Aupetit В., Рrоfirietes Spectrales desAlgebres de Banach, В.-Hdlb.- N. Y., 1979; [9] Кириллов А. А., Гвишиани А. Д., Теоремы и задачи функционального анализа, М., 1979.

Е. А. Горин.

2)Н.- то же, что абсолютное значение на теле или кольце (см. также Нормирование).

3) Н. группы - совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, т. е. пересечение нормализаторов всех подгрупп. Н. содержит центр группы и содержится во втором гиперцентре Z2. Для группы без центра Н. равна единичной подгруппе Е.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.

О. А. Иванова.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Антонимы:

Смотреть что такое "НОРМА" в других словарях:

  • норма́ль — нормаль, и …   Русское словесное ударение

  • норма́нн — норманн, а; р. мн. ов …   Русское словесное ударение

  • Норма — Величина затрат ресурсов, либо величина результатов работ, определяемая на основе соответствующих нормативов с учетом реальных организационно технических условий производства при выполнении конкретного объема работ Источник: МД 3.02 2000:… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • НОРМА — предписание, разрешение или запрещение действовать определенным образом. Н. выражается нормативным, или деонтическим, высказыванием. Языковые формулировки последних многообразны и разнородны. Иногда нормативное высказывание имеет форму… …   Философская энциклопедия

  • НОРМА — (лат. norma). 1) мерило, образец, правило. 2) название известной итальянской лирической оперы Беллини. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМА вообще точная мера чего бы то ни было: количества,… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • НОРМА — НОРМА, нормы, жен. (лат. norma). 1. Узаконенное установление. Правовые нормы. || Обычный, признанный обязательным порядок, состояние. Языковая норма. Нормы морали. Норма поведения. Выйти из нормы. Это не норма, а исключение. 2. Установленная мера …   Толковый словарь Ушакова

  • норма — ы, ж. norme f. , лат. norma. 1. Обычный установленный порядок, обычное состояние чего л. БАС 1. <обломов> с громкими вздохами ложился, вставал, даже выходил на улицу, и все доискивался нормы жизни, такого существования, которое было бы… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Норма —  Норма  ♦ Norma    На латыни norma означает «наугольник». Норма, поясняет Кангилем (***), это «то, с помощью чего выпрямляют, распрямляют, выравнивают» («Норма и патология»). Норма указывает на то, каким что должно быть, и позволяет судить, так… …   Философский словарь Спонвиля

  • НОРМА — есть масштаб оценки, причем она не только непосредственная количественная мера, но и то, что «специфицирует», относит к определенному качественному классу. Н. не является трансцендентной, неизменной величиной и не су шествует в… …   Большая медицинская энциклопедия

  • норма — См. правило... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. норма порядок, стандарт, образец, закон, предписание, правило, размер, ставка; устой, модус, мера, установление, пдн,… …   Словарь синонимов

  • НОРМА — (от латинского norma руководящее начало, правило, образец), 1) узаконенное установление, признанный обязательный порядок чего нибудь, правило (например, норма поведения). 2) Установленная мера, размер чего нибудь (например, норма выработки) …   Современная энциклопедия

Книги

  • Норма, Сорокин Владимир Георгиевич. Роман "Норма"-одно из самых ярких и многогранных произведений мастера альтернативной прозы Владимира Сорокина. Постмодернизм в этом романе изысканно переплетается с реализмом," ближнее… Подробнее  Купить за 312 руб
  • Норма, Владимир Сорокин. Роман «Норма» – одно из самых ярких и многогранных произведений мастера альтернативной прозы Владимира Сорокина. Постмодернизм в этом романе изысканно переплетается с реализмом, «ближнее… Подробнее  Купить за 199 руб электронная книга
  • Норма, Владимир Сорокин. Роман "Норма" - одно из самых ярких и многогранных произведений мастера альтернативной прозы Владимира Сорокина. Постмодернизм в этом романе изысканно переплетается с реализмом, "ближнее… Подробнее  Купить за 140 руб
Другие книги по запросу «НОРМА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.