Обобщённые координаты

Состояние физической системы

Подавляющее большинство физических систем может находиться не в одном, а во многих состояниях, описываемых как непрерывными (например, координаты тела), так и дискретными (например, квантовые числа электрона в атоме) переменными. Независимые «направления», переменные, характеризующие состояния системы, и называются степенями свободы.

Примеры

• Простейшая механическая система — материальная точка в трёхмерном пространстве — обладает тремя степенями свободы, так как её состояние полностью описывается тремя пространственными координатами.
• Абсолютно твёрдое тело обладает шестью степенями свободы, так как для полного описания положения такого тела достаточно задать три координаты центра масс и три угла, описывающих ориентацию тела (эти величины известны в быту как «наклон, подъём, поворот», в авиации их называют «крен, тангаж, рыскание»).
• Реальные тела обладают огромным числом степеней свободы (порядка числа частиц, из которых состоит тело). Однако в большинстве ситуаций оказывается, что наиболее важны лишь несколько «коллективных» степеней свободы, характеризующих движение центра масс тела, его вращение, его деформацию, его макроскопические колебания. Остальные же — микроскопические — степени свободы не заметны по отдельности, а воспринимаются сразу все вместе, как, например, температура и давление.

Обобщённые координаты

Понятие степени свободы связано с таким понятием, как размерность. В математике размерность — это количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или, другими словами, для определения его положения в неком абстрактном пространстве.

При математическом описании состояния физической системы N степеням свободы отвечают N независимых переменных, называемых обобщёнными координатами.

В случае непрерывных степеней свободы соответствующие обобщённые координаты принимают непрерывный ряд значений. Однако можно рассматривать и дискретные степени свободы.

Примеры

• Для того, чтобы описать положение окружности на плоскости, достаточно трёх параметров: двух координат центра и радиуса, то есть пространство окружностей на плоскости трёхмерно. Окружность может быть перемещена в любую точку плоскости и её радиус может быть изменён, поэтому у неё три степени свободы.
• Для того, чтобы определить координаты объекта на географической карте, нужно указать широту и долготу. Соответствующее пространство поэтому называется двумерным. Объект может располагаться в любой точке, поэтому у каждого объекта на карте две степени свободы.
• Для задания положения самолёта нужно указать три координаты — дополнительно к широте и долготе нужно знать высоту, на которой он находится. Поэтому пространство, в котором находится самолёт, является трёхмерным. К этим трём координатам может быть добавлена четвёртая (время) для описания не только текущего положения самолёта, но и момента времени. Если добавить в модель ориентацию (крен, тангаж, рыскание) самолёта, то добавятся ещё три координаты и соответствующее абстрактное пространство модели станет семимерным.

См. также

• Размерность (значения) — понятие «размерность» используется в физике, математике, топологии и статистике.
• Фазовое пространство — пространство, в котором состояние сколь угодно сложной системы представляется одной точкой.