Обобщённое нормальное распределение

'Обобщённое нормальное (обобщённое гауссовское) распределение' есть одно из двух параметрических семейств абсолютно непрерывных вероятностных распределений на действительной прямой. Два подхода к определению данного семейства распределений обозначаются далее как «подход 1» и «подход 2». Однако данные наименования не являются общепринятыми.

Подход 1

Обобщённое нормальное распределение представляет собой параметрическое семейство симметричных распределений, включающее все нормальные и лапласовские распределение, а в предельных случаях включающее также все непрерывные uniform distributions на ограниченных интервалах действительной прямой.

Распределение из данного семейства является нормальным при $\textstyle\beta=2$ (с математическим ожиданием $\textstyle\mu$ и дисперсией $\textstyle \frac{\alpha^2}{2}$) и является распределением Лапласа при $\textstyle\beta=1$. Так как $\textstyle\beta\rightarrow\infty$, соответствующая плотность поточечно сходится к одномерной плотности на $\textstyle (\mu-\alpha,\mu+\alpha)$.

Данное семейство демонстрирует наличие хвостов распределения, которые тяжелее нормальных хвостов при $\beta<2$ и легче нормальных при $\beta>2$. Введение обобщённого нормального распределения представляет собой удобный способ параметризации множества симметричных platykurtic распределений, характеризующихся плотностью, изменяющейся от плотности нормального ($\textstyle\beta=2$) до плотности равномерного распределения ($\textstyle\beta=\infty$), и множества симметричных leptokurtic распределений, характеризующихся плотностью, изменяющейся от плотности лапласовского ($\textstyle\beta=1$) до плотности нормального распределения ($\textstyle\beta=2$).

Оценка параметров

Оценка параметров распределения методом максимального правдоподобия и методом моментов была изучена в ^[1]. Оценки не имеют конечных аналитических выражений и должны вычисляться численно. Оценки, не нуждающиеся в численном вычислении, также описаны в ^[2].

Обобщённо-нормальная логарифмическая функция правдоподобия имеет бесконечно много непрерывных производных (то есть принадлежит классу C^∞ гладких функций) только тогда, когда $\textstyle\beta$ чётное положительное целое число. Иначе данная функция имеет $\textstyle\lfloor \beta \rfloor$ непрерывных производных. Следовательно, стандартные результаты для состоятельности и асимптотической нормальности оценки максимального правдоподобия для $\beta$ могут быть применены лишь в случае $\textstyle\beta\ge 2$.

Примечания

1. ↑ Varanasi, M.K.; Aazhang, B. (October 1989). «Parametric generalized Gaussian density estimation». Journal of the Acoustical Society of America 86 (4): 1404–1415. DOI:10.1121/1.398700. Проверено 2009-03-03.
2. ↑ Domínguez-Molina, J. Armando; González-Farías, Graciela; Rodríguez-Dagnino, Ramón M.. «A practical procedure to estimate the shape parameter in the generalized Gaussian distribution». Проверено 2009-03-03.

Для улучшения этой статьи желательно?: Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии. Перевести текст с иностранного языка на русский. Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.