Неизмеримые множества

Неизмеримые множества

Мера Лебе́га на \R^n — мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году.

Содержание

Построение меры на прямой

Внешняя мера

Для произвольного подмножества E числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество E. Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества E, и называется внешней мерой:

m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.

Варианты обозначения внешней меры:

m^*E=\varphi(E)=|E|^*.

Очевидно, внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной.

Свойства внешней меры

  • E_1\subseteq E_2\Longrightarrow m^*E_1\leqslant m^*E_2.
  • E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Longrightarrow m^*E\leqslant\sum_{k=1}^\infty m^*E_k.
  • \forall E,\;\varepsilon>0\;\exists G\supseteq E\!:m^*G\leqslant m^*E+\varepsilon, где G — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве G взять сумму интервалов, составляющих покрытие E, такую что \sum_i\Delta_i\leqslant m^*E+\varepsilon. Возможность существования такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

Внутренняя мера

Если множество E ограничено, то внутренней мерой множества E называется разность между длиной сегмента [a,\;b] содержащего E и внешней мерой дополнения E в [a,\;b]:

m_*E=(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E).

Для неограниченных множеств, m * E определяется как точная верхняя грань (b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E) по всем отрезкам [a,\;b].

Измеримые множества

Множество называется измеримым по Лебегу, если его внешняя и внутренняя меры равны. Тогда общее значение последних называется мерой множества по Лебегу и обозначается mE, μE, | E | или λ(E).

Пример неизмеримого множества

Рассмотрим на прямой отрезок [0,\;1]. Если две точки отстоят друг от друга на рациональное расстояние, то будем считать, что они принадлежат одному классу эквивалентности. Разобьём весь отрезок на такие классы эквивалентности. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке. Тогда полученное множество представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть его счётное число раз, то оно заполнит весь отрезок. Если бы у построенного множества E существовала мера, то она должна быть либо равна нулю, либо быть больше нуля. По счётной аддитивности меры Лебега \sum_{n=-\infty}^{\infty}\mu(E)=1, что невозможно (если μ(E) = 0, то и сумма ряда равна нулю, а если μ(E) > 0, то сумма ряда равна бесконечности) а значит μ(E) не существует.

Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (было бы невозможно выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

См. также

Литература

  • Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — С. 352.
  • Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Неизмеримые множества" в других словарях:

  • Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества  неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… …   Википедия

  • ИЗМЕРИМОЕ РАЗБИЕНИЕ — пространства с мерой ( М,m) разбиение x. этого пространства на непересекающиеся подмножества (именуемые элементами разбиения), к рое можно получить как разбиение на множества уровня нек рой измеримой функции (с числовыми значениями) на М. Это… …   Математическая энциклопедия

  • Мера Лебега — на   мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году. Содержание 1 Построение меры на прямой 1.1 …   Википедия

  • Парадокс Банаха — Тарского — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс Банаха-Тарского — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс Банаха—Тарского — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс Хаусдорфа — Банаха — Тарского — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс удвоения шара — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс Банаха — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара теорема в …   Википедия

  • МЕРА — множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»