Теорема Лебега о разложении меры

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лебега.

Вводные определения

Пусть $F$ — монотонно неубывающая функция, непрерывная справа на отрезке $[a,\;b]$. На $[a,\;b]$ вводится борелевская алгебра:

$m[a,\;b)=F(b)-F(a)$,

$m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)$,

$m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)$,

$m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)$,

$\mu_F$ — мера Стилтьеса на отрезке $[a,\;b]$, для производящей функции которой: $F(+\infty)-F(-\infty)$. Поэтому можно продолжить меру на всю числовую прямую.

Частные случаи производящей функции:

• $F$ — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество $A$ — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

$\mu_F(A)=\sum\limits_{x_i\in A}h_i$ — дискретная мера.

• Функция F непрерывна, монотонно не убывает на $[a,\;b]$, на $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$.

$\mu_F(A)=\int\limits_A f(x)\,dx$ — абсолютно непрерывная мера.

• $F$ — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение $F$ равно 1 на всём отрезке, но почти всюду const). Мера сосредоточена в точках роста функции.

Теорема разложения меры

Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.