Многомерный узел

Многомерный узел — изотопический класс вложений сферы в сферу. Более точно, $n$-мерным узлом коразмерности $q$ называется пара $(S^{n+q},K^n)$, состоящая из ориентированной сферы $S^{n+q}$ и ее ориентированного подмногообразия $K^n$, гомеоморфного сфере $S^n$. Два узла $k_1=(S^{n+q},K_1^n)$ и $k_2=(S^{n+q},K_2^n)$ называются эквивалентными, если существует изотопия сферы $S^{n+q}$, переводящая $K_1^n$ на $K_2^n$ с сохранением ориентации. В зависимости от того, в какой категории понимаются термины «подмногообразие» и «изотопия» в предыдущих определениях, говорится о гладких, кусочно линейных или топологических многомерных узлах.

Заметьте, что подмногообразие $K_1^n$ гладкого узла может иметь и нестандартную дифференцируемую структуру.

$n$-мерный узел коразмерности $q$, изотопный стандартному вложению, называется тривиальным, или незаузленным.

Узлы коразмерности 1

Изучение многомерных узлов коразмерности 1 связано с гипотезой Шёнфлиса. Всякий топологический узел коразмерности $1$ тривиален. Это же верно и для кусочно линейных и гладких узлов, если $n\not=3, 4$.

Узлы коразмерности 2

Изучение многомерных узлов коразмерности $2$, которые в дальнейшем будут называться просто узлами, проходит почти аналогично во всех трех категориях (Diff, Pi, Top). При $n\ge 5$ всякий топологический узел переводится изотопией в гладкий. Однако существуют топологические трехмерные узлы в $S^5$ не эквивалентные и даже не кобордантные гладким узлам.

Множество изотопических классов $n$-мерных узлов (каждой категории) образует абелеву полугруппу относительно связного суммирования. Известно, что при $n=1$ в этой полугруппе всякий элемент представляется в виде конечной суммы простых, то есть нетривиальным образом неразложимых элементов, и такое разложение единственно.

$n$-мерный узел $k=(S^{n + 2}, K^n)$ тривиален тогда и только тогда, когда $\pi_i(S^{n + 2}\backslash K^n)=\pi_i(S^1)$ при всех $i \le \frac{n+1}2$.

Внешностью гладкого узла $k=(S^{n+2}, K^n)$ называется дополнение $X$ открытой трубчатой окрестности $K^n$ в $S^{n+2}$. При $n\ge 2$ для всякого $n$-мерного узла $k$ существует такой узел $\tau(k)$, что всякий узел, внешность которого диффеоморфна внешности узла $k$, эквивалентен либо $k$, либо $\tau(k)$. Если $X_1$, $X_2$ — внешности двух гладких $n$-мерных узлов, $n\ge 3$, и $\pi_1(X_1)=\pi_1(X_2)=\Z$, то следующие утверждения равносильны:

1. $X_1$, и $X_2$ диффеоморфны,
2. пары $(X_1, \partial X_1)$ и $(X_2, \partial X_2)$ гомотопически эквивалентны.

Эти результаты сводят проблему классификации узлов к гомотопической классификации пар $(X, \partial X)$ и к решению вопроса о том, определяет ли внешность тип узла, то есть верно ли равенство $k=\tau(k)$? Были найдены двумерные узлы в $S^4$, для которых $k\not=\tau(k)$.

Если $G$ — группа узла (то есть $G=\pi_1(X))$, то $G/[G, G]=\Z$, $H_2(G) = \mathbb Q$, вес группы $G$ (то есть минимальное число элементов, не содержащихся ни в одном собственном нормальном делителе) равен 1. При $n\ge3$ эти свойства полностью описывают класс групп $n$-мерных узлов. Группы одномерных и двумерных узлов обладают рядом дополнительных свойств.

Внешность $X$ обладает единственным бесконечным циклическим накрытием $p:\tilde X\to X$, которое называется бесконечным циклическим накрытием узла. Гомологии $H_*(\tilde X)$ являются $\Z$-модулями. Их инварианты Александера являются инвариантами узла.

Узлы коразмерности >2

Кусочно линейные и топологические многомерные узлы коразмерности $\ge 3$ тривиальны. В гладком случае это не так. Множество изотопических классов гладких $n$-мерных узлов коразмерности $q\ge 3$ совпадает при $n\ge5$ с множеством $\theta(n,q)$ классов кобордизмов узлов (два многомерных узла $k_1=(S^{n+q},K_1^n)$ и $k_2=(S^{n+q},K_2^n)$ называются кобордантными, если в $S^{n+q}\times [0,1]$ вкладывается h-кобордизм между $K_1^n\times 0$ и $K_2^n\times 1$ гладкое). Множество $\theta(n,q)$ является абелевой группой относительно связного суммирования. В этой группе противоположным к классу многомерного узла является класс кобордизмов узла с обращеной ориентацией. Имеется естественный гомоморфизм $\theta(n,q) \to \theta(n)$ где $\theta(n)$ — группа $n$-мерных гомотопических сфер; этот гомоморфизм сопоставляет узлу дифференцируемую структуру вложенной сферы. Ядро этого гомоморфизма $\Sigma(n,q)$, совпадает с множеством изотоппческих классов стандартной сферы $S^n$ в $S^{n+q}$. Если $2q>n+3$, то группа $\Sigma(n,q)$ тривиальна. Если $2q\le n+3$ и $n\not\equiv3\mod 4$, то группы $\theta(n,q)$ и $\Sigma(n,q)$ конечны. В случае, когда $2q\le n+3$ и $n\equiv3\mod 4$, группы $\theta(n,q)$ и $\Sigma(n,q)$ являются конечно порожденными абелевыми группами ранга $1$.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.