ДВУМЕРНЫЙ УЗЕЛ

- класс изотопных вложений двумерной сферы S² в четырехмерную S⁴. Чисто топологич. теория не развита, ибо еще не выяснено (1978) соотношение чистой и кусочно линейной топологии в размерности 4. Обычно накладывается условие локальной плоскостности. Метод изучения - рассмотрение сечений S'² пучком параллельных трехмерных плоскостей. Основным является вопрос о том, будет ли узел тривиален, если его группа изоморфна Z.

Известно, что в этом случае дополнение имеет гомотопич. тип S¹.

3-лентой в S⁴ наз. образ D³ такой иммерсии где D³- трехмерный диск, что j| _дD3 - вложение; самопересечения j состоят из конечного числа попарно непересекающихся двумерных дисков D₁,. . ., D_n;прообраз j¹(D_i) каждого диска D_i является объединением двух таких дисков D'_i и D"_i , что

Образ края дD³ является двумерным узлом в S⁴. Так получаемые узлы наз. ленточными узлами. Это - один из наиболее изученных классов Д. у. Всякий ленточный Д. у. является границей нек-рого трехмерного подмногообразия сферы S⁴, гомеоморфного либо диску D³, либо связной сумме нек-рого числа Ленточный Д. у. тривиален тогда и только тогда, когда фундаментальная группа его дополнения изоморфна Z. Группа Gтогда и только тогда является группой некрого ленточного Д. у. в S⁴, когда она имеет копредставление Зиртингера, т. е. копредставление |x₁, ..., х _п: r_l , ..., r _т|, где каждое соотношение имеет вид x_i= w_{i, j}x_jw^-1_{i, j}, в котором число соотношений на единицу меньше числа образующих в G/[G, G]=Z. Класс групп всех Д. у. полностью не описан. Известно, что этот класс шире класса групп k-мерных узлов в S^k+2,. Последний класс полностью охарактеризован (см. Многомерный узел). Свойства групп Д. у., к-рыми, вообще говоря, не обладают группы трехмерных узлов в S⁵, таковы:

где G' = [G, G]- коммутант; на конечной группе Т=Tors (G'/G" )существует такая невырожденная симметричная форма что для любых имеет место L(x, y) = L(tz,ty), где t : Т->. Т - автоморфизм, индуцированный сопряжением в группе Gна элемент то.

Задача вычисления решена лишь для частных типов Д. у., напр, полученных конструкцией Артина, ленточных и расслоенных.

А. В. Чернавский, М. Ш. Фарбер.