Ковариантное дифференцирование

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля T в направлении касательного вектора ${\mathbf v}$ обычно обозначается $\nabla_{\mathbf v}T$.

Формальное определение

Скалярные функции

Для скалярной функции f ковариантная производная ${\nabla}_{\mathbf{v}} f$ совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля $\mathbf{v}$.

Векторные поля

Ковариантная производная $\nabla$ векторного поля ${\mathbf u}$ по направлению векторного поля ${\mathbf v}$, обозначаемая $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ определяется по следующим свойствам, для любого вектора $\mathbf{v}$, векторных полей $\mathbf{u}$, $\mathbf{w}$ и скалярных функций f и g:

1. $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ линейно по отношению к ${\mathbf v}$, то есть $\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}$
2. $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ аддитивно относительно ${\mathbf u}$, то есть $\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}$
3. $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ подчиняется правилу произведения, то есть $\nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f$ где $\nabla_{\mathbf v}f$ определено выше.

Замечание

Заметим, что $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ в точке p зависит только от значения $\mathbf{v}$ в точке p и от значений $\mathbf{u}$ в ее окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).

Ковекторные поля

Если задано поле ковекторов (или 1-форм) α, его ковариантная производная $\nabla_{\mathbf v}\alpha$ может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей $\mathbf{u}$

$\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).$

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля $\mathbf{v}$ — тоже ковекторное поле.

Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница ($\varphi$ и ψ — произвольные тензоры):

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),$

Если $\varphi$ и ψ — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.$

Выражение в координатах

Пусть тензорное поле типа (p,q) задано своими компонентами ${T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}(\mathbf{x})$ в некоторой локальной системе координат x^k, причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q + 1), который определяется по формуле:

$\nabla_\ell{T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} = \frac{\partial {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}}{\partial x^\ell} + \sum_{k=1}^p {T^{i_1\ldots k\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} \Gamma^{i_k} {}_{\ell k} - \sum_{m=1}^q {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1\ldots m\ldots j_q} \Gamma^{m} {}_{\ell j_m}$

где Γ^k_ij — символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.

Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля $V^m\$ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

$\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k.\$

Ковариантная производная скалярного поля $\varphi\$ совпадает с частной производной,

$\nabla_i \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}\$

а ковариантная производная ковекторного поля $\omega_m\$ -

$\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k {}_{\ell m} \omega_k.\$

В пространстве без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

$\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi\$

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0) $A^{ik}\$ равна

$\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i {}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k {}_{m\ell} A^{im}, \$

то есть

$A^{ik} {}_{,\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i {}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k {}_{m\ell}. \$

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

$A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i {}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m {}_{k\ell}, \$

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2),

$A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. \$

См. также

• Тензор кривизны
• Связность Леви-Чивиты
• Символы Кристоффеля
• Оператор набла в различных системах координат