Касательный вектор

Касательный вектор к кривой

• Пусть функция $f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ определена в некоторой окрестности точки $x_0\in \mathbb{R}$, и дифференцируема в ней: $f \in \mathcal{D}(x_0)$. Касательным вектором к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется вектор с компонентами

  $\vec e = \frac{1}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_x + \frac{f'(x_0)}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_y$.

• Если функция $f$ имеет в точке $x_0$ бесконечную производную $f'(x_0) = \pm \infty,$ то касательный вектор

  $\vec e = \vec e_y$

Общее определение

Касательным вектором к гладкому многообразию $M$ в точке $p \in M$ называется оператор $X$, сопоставляющий каждой гладкой функции $f:M\to \R$ число $X f$ и обладающий следующими свойствами:

• аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh,$
• правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh).$

Множество всех таких операторов в точке $p$ имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

$(X+Y)f=Xf+Yf;$

$(k\cdot X)f=k\cdot(Xf), \ \forall k \in \R$

Совокупность всех касательных векторов в точке $p$ образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке $p$. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь $\mathbf{f}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n$:

$\mathbf{f}(t) = f_1(t)\mathbf{e}_1 + f_2(t)\mathbf{e}_2 + \dots + f_n(t)\mathbf{e}_n$

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь $\mathbf{l}(t)$, который его касается в момент времени t₀:

$\mathbf{l}(t) = \mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)\left({\partial f_1 \over \partial x_1}(t_0) \mathbf{e}_1 + {\partial f_2 \over \partial x_2}(t_0)\mathbf{e}_2 + \dots + {\partial f_n \over \partial x_n}(t_0)\mathbf{e}_n\right)$

Касание двух путей означает, что разность $\mathbf{f}(t)-\mathbf{f'}(t)=o(t-t_0)$; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию

Касательный вектор в точке $p$ гладкого подмногообразия $M$ евклидова пространства — вектор скорости в точке $p$ некоторой кривой в $M$.

Иначе говоря, касательный вектор в точке $p$ подмногообразия, локально заданного параметрически:

$r:\R^m\to \R^n$ с $p=r(0)\$

есть произвольная линейная комбинация частных производных $\frac{\partial r}{\partial x_i}(0)$.

Замечания

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости $C^1$.
• Согласно теореме Уитни о вложении , любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в $\R^{2n}$. По этому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать, независимость определения от вложения.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.