Субгармоническая функция

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи, и класс гармонических функций.

Определение

Рассмотрим функцию $f:G\to\overline{\R}$, где $G\subset\R^n$ и $f$ полунепрерывна сверху на $G$. Она будет называться субгармонической, если для произвольного шара $\overline{B(x_0,\;r)}=\{x\in\overline{\R}:|x-x_0|\leqslant r\}\subset G$ и любой вещественнозначной функции $h:\overline{B(x_0,\;r)}\to\R$, непрерывной на $\overline{B(x_0,\;r)}$, гармонической в $B(x_0,\;r)$ и удовлетворяющей неравенству $f(x)\leqslant h(x)$ на $\partial B(x_0,\;r)$ последнее неравенство будет выполняться и во всем шаре $B(x_0,\;r)$.

Определение супергармонической функции двойственно приведённому — функция $f$ называется супергармонической, если функция $(-f)$ субгармоническая.

Основные свойства

1. $f$ — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если $G\subset\R^n$ — открытое множество и $f\in\mathcal{C}^2(G)$ ($\mathcal{C}^2(G)$ — класс дважды непрерывно дифференцируемых на $G$ функций), то для субгармоничности $f$ необходимо и достаточно выполнение на $G$ условия $\Delta f\geqslant 0$ ($\Delta$ — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Связь с аналитическими функциями

Теория субгармонических функций находит немалое применение в комплексном анализе, потому что субгармонические и аналитические функции тесно связаны. А именно, можно показать что для любой аналитической в некоторой области $G\subset\C$ функции функция $\varphi(z)=\log|f(z)|$ будет субгармонической в $G$, если рассматривать $G$ как подмножество $\R^2$.

См. также

• Плюрисубгармоническая функция