КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

- общее название Якоби многочленов, Эрмита 'многочленов, Лагерра многочленов и Чебышева многочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами:

1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности ( а, b )удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона

причем на концах интервала ортогональности выполняются условия

2) Многочлен у=Р п (х)порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению

3) Имеет место обобщенная Родрига формула

где с п- некоторый нормировочный коэффициент.

4) Производные К. о. м. суть также К. о. м. и ортогональны на том же интервале ортогональности, вообще говоря, с другим весом.

5) Для производящей функции

имеет место представление

где l=l{х, w)- тот корень квадратного уравнения z-х-wB(z)=0, который при малых |w| ближе расположен к точке х.

Этими свойствами обладают только три из указанных систем ортогональных многочленов, а также системы, полученные из этих трех линейными преобразованиями независимого переменного.

В обобщенной формуле Родрига нормировочный коэффициент с п обычно выбирается тремя различными способами с целью получения ортонормированных многочленов, либо ортогональных многочленов с единичным старшим коэффициентом, либо так наз. стандартизованных ортогональных многочленов, к-рые вводятся потому, что наиболее удобны в применениях и основные формулы для них имеют наиболее простой вид.

К. о. м. являются собственными функциями нек-рых задач на собственные значения для уравнений типа Штурма - Лиувилля, причем в этих задачах каждая система ортогональных многочленов (многочлены Якоби, многочлены Эрмита, многочлены Лагерра) является единственной последовательностью решений соответствующей системы уравнений (см. [4], с. 110).

Частные случаи К. о. м. определяются следующим выбором весовой функции и интервала ортогональности:

1) Многочлены Якоби {Р п (х;a, b} ортогональны на сегменте [-1,1] с весом j(х)=(1-x)a(i+x)b, где a>-1, b>-1. В частности, при a=b имеем ультрасферические многочлены, или многочлены Гегенбауэра {Р п (х;a)}. Лежандра многочлены {Р n (х)}соответствуют значениям a=b=0 и ортогональны на сегменте [ - 1,1] с весом j(x)=1. Если т. е. j(x)=[(1-х)(1+х)]-1/2, то имеем многочлены Чебышева первого рода {Т п (х)}, а при - многочлены Чебышева второго рода {Un(x)}.

2) Многочлены Эрмита {Н n (х)}ортогональны на интервале с весом j(x) = ехр(- х 2)

3) Многочлены Лагерра {L п (х;a)}ортогональны на интервале с весом j(x) = xae-x, где a>-1.

Лит.:[1] Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Л., 1950; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Т. 2, Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [3] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; [4] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; [5] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, М., 1976. См. также лит. при ст. Ортогональные многочлены.

П. И. Суетин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ" в других словарях:

  • Ортогональные многочлены — Пафнутий Львович Чебышёв В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов …   Википедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ — система многочленов {Р n (х)}, удовлетворяющих условию ортогональности причем степень каждого многочлена Р n (х). равна его индексу п, а весовая функция (вес) на интервале ( а, b).или (в случае конечности a и b) на отрезке [a, b]. О. м. наз. о р… …   Математическая энциклопедия

  • Ортогональные многочлены —         специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом ρ(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через х) удовлетворяет дифференциальному уравнению… …   Большая советская энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ — системыполиномов , п =0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале ( а, b): где квадрат нормы. Подобные системы возникают в разл. задачах матем. физики:в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задачна собственные… …   Физическая энциклопедия

  • Многочлены Кравчука — ( М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: . Здесь   весовая …   Википедия

  • ЛАГЕРРА МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены Чебышева Лагерра, многочлены, ортогональные на интервале с весовой функцией где a> 1. Стандартизованные Л. м. определяются формулой представление с помощью гамма функции: В применениях наиболее важны формулы: Многочлен удовлетворяет …   Математическая энциклопедия

  • ЯКОБИ МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены, ортогональные на отрезке [ 1, 1] с весовой функцией Стандартизованные Я. м. определяются Рoдрига фoрмулой а ортонормированные Я. м. имеют вид Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению При и для ортонормированных Я. м. имеет… …   Математическая энциклопедия

  • ЭРМИТА МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены Чебышева Эрмита, многочлены, ортогональные на интервале с весовой функцией k(x)=ехр( х 2). Стандартизованные Э. м. определяются Родрига формулой Наиболее употребительны формулы Первые Э. м. имеют вид Многочлен Hn (х)удовлетворяет… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — по ортогональным многочленам ряд вида где многочлены { Р п (х)} ортонормированы на интервале ( а, b )с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а коэффициенты { а n} вычисляются но формуле причем функция f(x) входит в класс функций L2=L2[a, b, h… …   Математическая энциклопедия

  • НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЙСЯ ОТ НУЛЯ МНОГОЧЛЕН — алгебраический многочлен степени псо старшим коэффициентом, равным единице, имеющий минимальную норму в пространстве или П. Л. Чебышсв [1] установил, что среди всех много членов вида минимальную норму в пространстве С[ а, b]имеет единственный… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»